قائمة المتسلسلات الرياضياتية

☰ جدول المحتويات

نبذة تمهيدية
تجميعات القوى
متسلسلات القوى
عوامل ثنائية الحد
دوال مثلثية
غير مصنفة
انظر أيضاً
ملاحظات
المراجع

هذه قائمة بالمتسلسلات الرياضياتية والتي تحتوي على صيغ بالتجميعات المنتهية واللامنتهية. ويمكن استخدامها مع غيرها من الأدوات التي تقوم بتقدير التجميعات evaluating sums.

تجميعات القوى

المعادلة
$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}\,\!$
$\sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\,\!$
$\sum _{i=0}^{n}i^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!$ حيث أن $B_{k}$ هو عدد بيرنولي ذو العدد k.
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{-s}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)\,\!$ حيث أن $\zeta (s)$ هو دالة زيتا.

متسلسلات القوى

تجميع اللانهائيات (عندما يكون $\|x\|<1$ )	تجميع النهائيات
$\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}\,\!$	$\sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=1+{\frac {1}{r}}(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}),\mathrm {where} \ r>0\ \mathrm {and} \ x={\frac {1}{1+r}}.\,\!$
$\sum _{i=0}^{\infty }x^{2i}={\frac {1}{1-x^{2}}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }ix^{i}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}\,\!$	$\sum _{i=1}^{n}ix^{i}=x{\frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {nx^{n+1}}{1-x}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}}\,\!$	$\sum _{i=1}^{n}i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{3}x^{i}={\frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{4}x^{i}={\frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{k}x^{i}=\operatorname {Li} _{-k}(x),\,\!$ حيث أن Li_s(x) هو لوغاريتم متعدد للمتغير x.

قواسم بسيطة

المعادلة
$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i}}=-\ln \left({1-x}\right)\quad {\mbox{ for }}\|x\|\leq 1,\,x\not =1\,\!$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\arctan(x)\,\!$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{2i+1}}=\mathrm {arctanh} (x)\quad {\mbox{ for }}\|x\|<1\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\!$

قواسم عاملية

هي متسلسلة متعددة القوى نشأت من مبرهنة تايلور ويكون لديها معامل عاملي.

المعادلة
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }i{\frac {x^{i}}{i!}}=xe^{x}$ (شاهد توزيع بواسون)
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{2}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+x^{2})e^{x}$ (شاهد العزم الثاني لتوزيع بواسون)
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{3}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{4}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{(2i+1)!}}=\sinh x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i}}{(2i)!}}=\cosh x$

القواسم العاملية-المعدلة

المعادلة
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\arcsin x\quad {\mbox{ for }}\|x\|<1\!$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}(2i)!}{4^{i}(i!)^{2}(2i+1)}}x^{2i+1}=\mathrm {arcsinh} (x)\quad {\mbox{ for }}\|x\|<1\!$

متسلسلة ثنائية الحد

متسلسلة ثنائية الحد (و من ضمنها متسلسلة الجذر التربيعي عندما يكون $\alpha =1/2$ والمتسلسلة الهندسية اللانهائية عندما يكون $\alpha =-1$ ):

الجذر التربيعي:

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!$

المتسلسلة الهندسية:

$(1+x)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

الصيغة العامة:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1{\mbox{ and all complex }}\alpha \!$

مع العوامل الثنائية الحد المعممة

{\alpha  \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!

^[1] $\sum _{i=0}^{\infty }{i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}$
^[1] $\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i+1}}{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{2x}}({\sqrt {1-4x}})$
^[1] $\sum _{i=0}^{\infty }{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}$
^[1] $\sum _{i=0}^{\infty }{2i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\right)^{n}$

عوامل ثنائية الحد

المعادلة
$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$
$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}$
$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose i}=0$
$\sum _{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$
$\sum _{i=0}^{n}{k+i \choose i}={k+n+1 \choose n}$
$\sum _{i=0}^{r}{r \choose i}{s \choose n-i}={r+s \choose n}$