مبرهنة أويلر

في نظرية الأعداد، مبرهنة أويلر لصاحبها ليونارد أويلر هي كما يلي :

إذا كان n عددا طبيعيا وa أوليا مع n، إذن

${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n}$

حيث ${\displaystyle \varphi (n)}$ الدالة مؤشر أويلر

في 1736، قدم أويلر إثباته لمبرهنة فيرما الصغرى، والتي قدمها فيرما دون إثبات.

النظرية تعد تعميماً لنظرية فيرما الصغرى، ويمكن تعميمها إلى مبرهنة كارمايكل.

يمكن استخدام المبرهنة لإيجاد البواقي لإعداد ذات قوى كبيرة ل"n" بسهولة. على سبيل المثال: لإيجاد وحدة الآحاد للعدد 7²²² والذي يكافئ 7²²² (mod 10)

≡ 7^{4 × 55 + 2} ≡ (7⁴)⁵⁵ × 7² ≡ 1⁵⁵ × 7² ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).

البرهان

لتكن {(R = {x₁, x₂, ..., x_{φ(n نظام بواقي مصغر (mod n) ولتكن a عدداً صحيحاً أولي نسبياً مع n.}

البرهان مبني على أن الضرب بـa يدوّر الباقي x_i: بكلمات أخرى إذا كان (ax_j ≡ ax_k (mod n فإن j = k.

ما يعني أن المجموعات R و {(aR = {ax₁, ax₂, ..., ax_φ(n

بأخذهم (mod n) فإن لهم نفس الباقي، مايعني أن حاصل ضرب عناصر المجموعة R مساوٍ لـ aR :

${\displaystyle \prod _{i=1}^{\varphi (n)}x_{i}\equiv \prod _{i=1}^{\varphi (n)}ax_{i}\equiv a^{\varphi (n)}\prod _{i=1}^{\varphi (n)}x_{i}{\pmod {n}},}$ وبالتالي نستطيع التخلص من x_i ونحصل على مبرهنة أويلر:

${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}.}$

راجع أيضاً

• مبرهنة كارمايكل
• مبرهنة فيرما الصغرى
• نظرية ويلسون

المصادر

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer,  
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea,  
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), , Oxford: مطبعة جامعة أكسفورد,   == وصلات خارجية ==
• إيريك ويستاين، {{{title}}}، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• Euler's Theorem at PlanetMath

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة نظرية الأعداد