مبرهنة كارمايكل

في نظرية الأعداد، دالة كارمايكل للعدد الصحيح n والتي يرمز لها ب $\lambda (n)$ ، معرفة بأنها أصغر عدد صحيح موجب m يحقق

a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}

لكل عدد صحيح a أولي نسبياً مع n.
دالة كارمايكل يرمز لها كذلك بالرمز $\psi (n)$ .

أول 30 قيمة للدالة $\lambda$ (متسلسلة A002322 في OEIS) مقارنة بدالة مؤشر أويلر $\varphi$ :

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$\lambda (n)$	1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20	12	18	6	28	4
$\varphi (n)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8

لقوى عدد أولي فردي، ولضعف قوى عدد أولي فردي، ول2 و 4، فإن (λ(n تساوي لقيمة مؤشر أويلر؛ أما لقوى ال2 الأكبر من 4 فإن (λ(nتساوي نصف قيمة مؤشر أويلر:

\lambda (n)={\begin{cases}\;\;\varphi (n)&{\mbox{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,29\dots \\{\tfrac {1}{2}}\varphi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,128,256\dots \end{cases}}

مراجع

Erdős, Paul; Pomerance, Carl; Schmutz, Eric (1991). "Carmichael's lambda function". Acta Arithmetica. 58: 363–385. ISSN 0065-1036. MR = 1121092 1121092. Zbl = complete&q = an:0734.11047 0734.11047.
Friedlander, John B.; Pomerance, Carl; Shparlinski, Igor E. (2001). "Period of the power generator and small values of the Carmichael function". Mathematics of Computation. 70 (236): 1591–1605, 1803–1806. doi:10.1090/s0025-5718-00-01282-5. ISSN 0025-5718. MR = 1836921 1836921. Zbl = complete&q = an:1029.11043 1029.11043.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. صفحات 193–195. . Zbl = complete&q = an:1079.11001 1079.11001.