مبرهنة فيفياني

نظرية فيفياني، مجموع الأطوال ${\displaystyle l+m+n\,}$ يساوي طول ارتفاع المثلث.

في الهندسة الرياضية، تنص مبرهنة فيفياني على أن مجموع أطوال

المسافات بين نقطة وأضلاع المثلث الثلاثة في مثلث متساوي الأضلاع

تساوي طول ارتفاع هذا المثلث.

سميت هذه المبرهنة على اسم العالم فيسينزو فيفياني (Vincenzo Viviani)‏.

من الممكن تعميم هذه المبرهنة إلى المضلعات ذات الأضلاع المتساوية، أو المضلعات ذات الزوايا المتساوية.

برهان

النقطة D في المثلث ABC المتساوي الأضلاع تحقق أن ${\displaystyle h=l+m+n\,}$

بمكن إثبات مبرهنة فيفياني باستخدام المساحات

حيث مساحة المثلث = ½ القاعدة × الارتفاع.

ABC مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه a وارتفاعه h ،

وفيه النقطة D و l,n,m أطوال المسافات بين النقطة D

وأضلاع المثلث AB,BC,AC على الترتيب.

${\displaystyle Area_{ABC}=Area_{ADB}+Area_{BDC}+Area_{ADC}\,}$

وبالتعويض عن المساحات السابقة في قانون مساحة المثلث نصل إلى:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a.h={\frac {1}{2}}a.l+{\frac {1}{2}}a.n+{\frac {1}{2}}a.m}$

وبالقسمة على ${\displaystyle {\frac {1}{2}}a}$ نصل إلى:

${\displaystyle h=l+n+m\,}$

وهو المطلوب.

اقرأ أيضاً

• مثلث متساوي الأضلاع
• مضلع منتظم

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية