متباينة هادفايغر-فنسلر

في الرياضيات، متباينة هادفايغر-فنسلر (بالإنكليزية: Hadwiger–Finsler inequality) هي نتيجة في هندسة المثلثات في المستوى الإقليدي، تنص على أنه في مثلث في المستوى، أطوال أضلاعه b و a و c و مساحته A، تتحقق المتراجحة التالية:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\,A.(HF)}$

متباينة فايتزينبوخ هي نتيجة بسيطة لمتباينة هادفايغر-فنسلر: إذا كانت b, a و c أطوال أضلاع مثلث في المستوى و A مساحته، فإن:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,A.(W)}$

سميت متباينة هادفايغر-فنسلر هكذا نسبة إلى بول فنسلر و هوغو هادفايغر(1937).

برهان متفاوتة هادفايغر-فنسلر

من قانون جيب التمام نحصل على:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }$

حيث ${\displaystyle \alpha }$ هي الزاوية بين ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle c}$. يمكن تحويل هذا إلى:

${\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha )}$

و لكون ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha }$ فإنَّ:

${\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {(1-\cos \alpha )}{\sin \alpha }}}$

الآن تذكر أن

${\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}$

و

${\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}$

باستخدام هذا نحصل على:

${\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}}$

بفعل هذا لكل أضلاع المثلث وبجمع المتساويات نحصل على:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}})}$

${\displaystyle \beta }$ و ${\displaystyle \gamma }$ هما الزاويتان الأخريتان للمثلث. بما أن أنصاف زوايا المثلث أصغر من ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ فإن دالة ${\displaystyle \tan }$ محدبة فلدينا:

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}}$

باستخدام هذا نحصل على:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\,A}$

هذه هي متباينة هادفايغر-فنسلر.

مراجع

• Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937). "Einige Relationen im Dreieck". Commentarii Mathematici Helvetici. 10 (1): 316–326. doi:10.1007/BF01214300.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, (ردمك ), pp. 84-86

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات