مصفوفة مرافقة

المصفوفة المرافقة (بالإنجليزية: Comatrix) في الجبر الخطي لمصفوفة مربعة ${\displaystyle A}$ هي المصفوفة المربعة ${\displaystyle com(A)}$ من نفس الحيز، كل عنصر${\displaystyle com(A)_{i,j}}$، ويسمى بالعامل المرافق، فيها يكتب بدلالة محدد المصفوفة الناتجة عن إلغاء السطر ${\displaystyle i}$ والعمود ${\displaystyle j}$ في ${\displaystyle A}$. إذا كانت ${\displaystyle A}$ قابلة للعكس ، فإن مصفوفتها المرافقة تمكن من حساب المصفوفة العكسية ل ${\displaystyle A}$.^[1]

في ما يلي، نعتبر ${\displaystyle A}$ مصفوفة مربعة حيزها ${\displaystyle n}$، بعناصر في حلقة تبادلية ${\displaystyle K}$.

تعريف

باعتبار مصفوفة مربعة ${\displaystyle A}$، حيزها ${\displaystyle n}$ ، العامل المرافق Cofactor ذو الإحداثيات ${\displaystyle (i,j)}$، الذي هو العنصر ${\displaystyle (i,j)}$ للمصفوفة المرافقة ${\displaystyle com(A)}$، يساوي:

${\displaystyle \left(\operatorname {com} A\right)_{i,j}:=\det \left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det \left(A_{i,j}\right)}$ بحيث:

• ${\displaystyle A'_{i,j}}$ هي المصفوفة المربعة التي حيزها ${\displaystyle n}$ والمشكلة انطلاقا من ${\displaystyle A}$، عبر تعويض عناصر العمود ${\displaystyle j}$ بأصفار باستثناء العنصر ${\displaystyle (i,j)}$ الذي يعوض ب ${\displaystyle 1}$.
• ${\displaystyle A_{i,j}}$ هي المصفوفة المربعة التي حيزها ${\displaystyle n-1}$ والمشكلة انطلاقا من ${\displaystyle A}$، عبر حذف العمود ${\displaystyle j}$ والسطر ${\displaystyle i}$. محدد ${\displaystyle A_{i,j}}$ يشكل بالتالي عنصرا من مجموعة مختصرات ${\displaystyle A}$.

صيغ لابلاص

يمكن حساب محدد مصفوفة مربعة ${\displaystyle A}$ فقط انطلاقا من عناصر عمود (أو سطر) واحد ومن معاملاتها المرافقة. هذه الطريقة، المعروفة بصيغة لابلاص (نسبة إلى الرياضياتي الفرنسي بيير لابلاص) تمكن من تحويل مسألة حساب محدد من الرتبة ${\displaystyle n}$ إلى ${\displaystyle n}$ عملية حسابية لمحددات من الرتبة ${\displaystyle n-1}$، وهو ما يشكل تبسيطا أو تخفيفا للعملية، على مستوى القدرة الحسابية.^[2]

خاصيات

• المصفوفة المرافقة لمنقولة ${\displaystyle A}$ هي منقولة مرافقتها: ${\displaystyle com({}^{t}A)={}^{t}com(A)}$.
• عملية المرافقة ثابتة حسب عملية الجداء: بالنسبة لمصفوفتين مربعتين ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$: ${\displaystyle com(AB)=com(A)\times com(B)}$.
• إذا كان ${\displaystyle K}$ حقلا تبادليا:
  • إذا كانت ${\displaystyle A}$ قابلة للعكس، أي برتبة ${\displaystyle n}$، فإن ${\displaystyle com(A)}$ أيضا قابلة للعكس.
  • إذا كانت رتبة ${\displaystyle A}$ تساوي ${\displaystyle n-1}$ (مع ${\displaystyle n\geq 2}$): ${\displaystyle rank(com(A))=1}$.
  • إذا كانت${\displaystyle rank(A)\leq n-2}$ (مع ${\displaystyle n\geq 3}$): ${\displaystyle com(A)=0}$.

أمثلة

مصفوفة حيزها ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}}$

مصفوفة حيزها ${\displaystyle 3\times 3}$

${\displaystyle \operatorname {com} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&&a_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}$

للتذكير، فالمحدد يساوي: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة جبر
• موسوعة رياضيات