ملحق جالويس

في الرياضيات ، فإن امتداد غالويس هو امتداد حقل جبري E / F طبيعي وغير قابل للفصل. أو مكافئ ، E / F هو جبري ، والحقل الذي حددته مجموعة autorphism Aut (E / F) هو بالضبط الحقل الأساسي F. إن أهمية التمديد Galois هي أن الامتداد يحتوي على مجموعة Galois ويطيع النظرية الأساسية من نظرية جالوا. [1]

نتيجة لإميل أرتين يسمح لأحد ببناء ملحقات Galois على النحو التالي: إذا كان E حقلًا معينًا ، و G مجموعة محدودة من automorphisms لـ E مع الحقل الثابت F ، فإن E / F هو امتداد Galois.

محتويات

1. توصيف ملحقات Galois
2. أمثلة
3. المراجع

توصيف ملحقات Galois

تنص نظرية إميل أرتين الهامة على أنه بالنسبة إلى التمديد المحدود E / F ، فإن كل عبارة من العبارات التالية تعادل التصريح بأن E / F هو Galois:

E / F هو امتداد طبيعي وامتداد منفصل. E هو مجال تقسيم من متعدد الحدود يمكن الفصل به مع المعاملات في F. | النمسوي (E / F) | = [E: F] ، أي أن عدد automorphisms يساوي درجة الامتداد. العبارات الأخرى المكافئة هي:

كل متعدد الحدود غير القابل للاختزال في F [x] مع جذر واحد على الأقل في E يتفرع على E ويمكن فصله. | النمسوي (E / F) | E [E: F] ، أي أن عدد automorphisms هو على الأقل درجة الامتداد. F هو الحقل الثابت لمجموعة فرعية من Aut (E). F هو الحقل الثابت لـ Aut (E / F). هناك تطابق واحد بين الحقول الفرعية لـ E / F والمجموعات الفرعية لـ Aut (E / F).

أمثلة

هناك طريقتان أساسيتان لبناء أمثلة على ملحقات Galois.

خذ أي حقل E ، أي مجموعة فرعية من Aut (E) ، ودع F يكون الحقل الثابت. خذ أي حقل F ، أي حدود متعدد الحدود في F [x] ، ودع E يكون حقل الفصل الخاص به. وبمحاذاة حقل الرقم المنطقي ، يعطي الجذر التربيعي لـ 2 امتداد غالويس ، في حين أن الجذر المجاور 2 يعطي امتداد غير جالوي. كل من هذه الامتدادات قابلة للفصل ، لأن لها صفات مميزة. أولها هو مجال تقسيم x2 - 2؛ الثانية لديها الإغلاق العادي الذي يتضمن جذور المكعب المعقدة للوحدة ، وبالتالي ليس مجال تقسيم. في الواقع ، لا يوجد لديه automorphism بخلاف الهوية ، لأنه موجود في الأعداد الحقيقية و x3 - 2 له جذر حقيقي واحد فقط. لمزيد من الأمثلة التفصيلية ، انظر صفحة النظرية الأساسية لنظرية جالوا.

إغلاق جبري {\ displaystyle {\ bar {K}}} {\ bar {K}} في حقل تعسفي {\ displaystyle K} K هو Galois عبر {\ displaystyle K} K إذا وفقط إذا كان {\ displaystyle K} K هو حقل مثالي.

المراجع

 راجع المقالة Galois group للحصول على تعريفات لبعض هذه المصطلحات وبعض الأمثلة.

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات