نصف قطر التقارب

في الرياضيات، نصف قطر التقارب (Radius of Convergence)‏ لمتسلسلة قوى هو نصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة، وهو إما عدد حقيقي غير سالب أو ∞.

وفقًا لمبرهنة كوشي-هادامار، تعطى نصف قطر تقارب متسلسلة من الشكل ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$، مع ${\displaystyle a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R} }$، بواسطة العبارة التالية:^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}}$

إذا كان نصف قطر تقارب متسلسلة دالة هو ما لا نهاية، يمكن أن تمدد الدالة إلى دالة كاملة.

أمثلة

من أبسط الأمثلة هو نصف قطر تقارب متسلسلة القوى للدالة الأسية:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

نحسب نصف قطر التقارب:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{(n+1)!}}\right|\div \left|{\frac {1}{n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{n+1}}\right|\\&=0\end{aligned}}}$

إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو ${\displaystyle \infty }$.

• نعتبر متسلسلة ماكلورين للدالة ${\displaystyle \ln(1+x)}$:

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$

نحسب نصف قطر تقاربه:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\div \left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {n}{(-1)^{n-1}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {-n}{(-1)^{n}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {-n}{n+1}}\right|\\&=1\end{aligned}}}$

إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو ${\displaystyle r=1}$.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي