Fonction arc tangente

Représentation graphique de la fonction arc tangente.

Notation	${\displaystyle \arctan(x)}$
Réciproque	${\displaystyle \tan(x)}$ sur ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$
Dérivée	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$
Primitives	${\displaystyle x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Ensemble image	${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$
Parité	impaire

Valeurs particulières

Valeur en zéro	0
Limite en +∞	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
Limite en −∞	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$

Particularités

Asymptotes	${\displaystyle y={\frac {\pi }{2}}}$ en ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle y=-{\frac {\pi }{2}}}$ en ${\displaystyle -\infty }$

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la valeur d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$. La notation est arctan^[1] ou Arctan ^[2] (on trouve aussi Atan, arctg en notation française ; atan ou tan⁻¹, en notation anglo-saxonne, cette dernière pouvant être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan)).

Pour tout réel x :

${\displaystyle y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$.

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Parité

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel x) ${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x}$.

Dérivée

Comme dérivée d'une fonction réciproque, arctan est dérivable et vérifie^[3] : ${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$.

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente^[4] est :

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }$.

Cette série entière converge vers arctan quand |x| ≤ 1 et x ≠ ±i. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même — cf. § « Fonction réciproque » — sur un domaine du plan complexe contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points ±i).

Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.

Démonstration

La série entière

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}$

est nulle en 0, son rayon de convergence vaut 1, et sa dérivée (sur le disque unité ouvert) est égale à la série géométrique

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-x^{2})^{k}={\frac {1}{1+x^{2}}}=\arctan '(x)}$.

Elle coïncide donc sur ce disque avec la fonction arctan. De plus, d'après la démonstration du test de Dirichlet (par sommation par parties), cette série entière converge uniformément sur le disque unité fermé privé d'un voisinage arbitrairement petit de ±i. En ±i, elle diverge comme la série harmonique.

La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de π ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }$.

Équation fonctionnelle

On peut déduire arctan(1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x={\frac {\pi }{2}}}$ ;

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{-}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}}$.

Fonction réciproque

Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$.

Ainsi, pour tout réel x, tan(arctan x) = x. Mais l'équation arctan(tan y) = y n'est vérifiée que pour y compris entre ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de ]–π/2, π/2[+iℝ dans ℂ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, d'après son lien avec la fonction tangente hyperbolique et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus {\big (}{\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right){\big )}\quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R} }$.

Logarithme complexe

Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique et s'exprime donc, comme elle, par un logarithme complexe :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus \left({\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1}{\rm {i}}}\operatorname {artanh} ({\rm {i}}x)={\frac {1}{2{\rm {i}}}}\ln {\frac {1+{\rm {i}}x}{1-{\rm {i}}x}}={\frac {\ln(1+{\rm {i}}x)-\ln(1-{\rm {i}}x)}{2{\rm {i}}}}}$.

Intégration

Formule remarquable

Si xy ≠ 1, alors^[3] :

${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi }$

où

${\displaystyle k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}}$

Notes et références

Voir aussi