Préhistoire de l'automatique

On peut faire remonter les débuts de l’automatique à l’Antiquité. Par exemple, les Romains régulaient le niveau d’eau des aqueducs grâce à un système de valves. Au XVI^e siècle, Cornelis Drebbel a conçu l'asservissement de température d'un four en combinant des effets thermiques et mécaniques ; alchimiste, Drebbel espérait grâce à ce four (« l'athanor ») transformer le plomb en or. Puis, au XVII^e siècle, Robert Hooke et Christian Huygens conçurent des régulateurs de vitesse (pour les moulins à vent en ce qui concerne Huyghens). En 1769, James Watt a conçu son fameux régulateur à boules pour la régulation de vitesse des machines à vapeur. Parmi d’autres pionniers de l’automatique, il convient d’évoquer l’astronome Airy (vers 1840), James Clerk Maxwell (son article On governors, déjà mentionné, est le premier article mathématique sur la théorie du contrôle^[1]), les Russes Polzounov (1766) et Vichnegradski (1876) ; et, bien entendu, les mathématiciens Adolf Hurwitz et Edward Routh (auteurs du critère de stabilité qui porte leur nom, datant de la fin du XIX^e siècle), ainsi que les Français Liénard et Chipart, qui ont amélioré en 1914 le critère de Routh-Hurwitz. On peut citer aussi Alexandre Liapounov, qui a présenté en 1892 sa thèse fondamentale sur la stabilité des équations différentielles, ainsi que tous les mathématiciens qui ont contribué à la théorie de la stabilité (voir l'histoire de la théorie de la stabilité). Ces derniers travaux, qui mènent à une époque assez récente, sont néanmoins à caractère essentiellement mathématique.

L'automatique fréquentielle

L’histoire de l’automatique proprement dite commence avec les fameux chercheurs des laboratoires Bell (fondés en 1925) : Harold Stephen Black et Nathaniel Nichols (en), qui ont conçu leur célèbre diagramme, Harry Nyquist qui, le premier sans doute, a compris le problème de stabilité que posent les systèmes bouclés^[2], enfin et surtout Hendrik Wade Bode. Ce dernier est très connu par son diagramme, mais son œuvre maîtresse est son livre Network Analysis and Feedback Amplifier Designer^[3], édité juste après la Seconde Guerre mondiale (et réédité depuis), qui marque la maturité de l’automatique fréquentielle.

Les systèmes échantillonnés

Il faut mentionner aussi les pionniers de l’automatique à temps discret : l’Américain Claude Shannon, lui aussi chercheur aux laboratoires Bell, le Russe Yakov Zalmanovitch Tsypkin, l'Américain Eliahu Jury (en) enfin, auteur du critère correspondant à celui de Routh-Hurwitz mais pour les systèmes à temps discret. Une découverte fondamentale est le théorème de l'échantillonnage, attribué par de nombreux auteurs à Nyquist et Shannon, mais auquel il faut aussi associer, entre autres Edmund Taylor Whittaker et Vladimir Kotelnikov.

La commande optimale

Dans les années 1950, d’autres approches de l’automatique se préparent : en Russie avec Lev Pontriaguine et ses collaborateurs, aux États-Unis avec Richard Bellman. Pontriaguine conçoit le principe du maximum pour la commande optimale. Il s’agit d’une extension du calcul des variations, avec « variations fortes » qui permettent d’obtenir une condition de maximum à la place de l’égalité d’Euler. Bellman invente la programmation dynamique, d’où il déduit l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman (en), généralisation de l’équation d’Hamilton-Jacobi du Calcul des variations.

La représentation d'état

Les découvertes qui viennent d’être évoquées jouent bien sûr un rôle essentiel dans la théorie de la commande optimale, mais elles ont également conduit à la notion de représentation d’état. C’est Rudolf Kalman qui, en 1960, a fait la théorie (presque) complète de ces systèmes dans le cas linéaire. Il a notamment mis en évidence les notions fondamentales de commandabilité et d’observabilité. La même année (son annus mirabilis), il faisait la théorie de la commande optimale linéaire quadratique (par application des résultats de Pontriaguine et de Bellman) et sa « version duale », le filtre de Kalman qui généralise le filtre de Wiener. Puis quelques mathématiciens, dont Harold J. Kushner, développent la commande optimale stochastique^[4].

Applications de l'algèbre et de la géométrie différentielle

S’ouvre alors une nouvelle ère de l’automatique, avec des travaux de nature algébrique (pour les systèmes linéaires) ou relevant de la géométrie différentielle (dans le cas des systèmes non linéaires). Pour ce qui concerne les systèmes linéaires, un livre célèbre de Walter Murray Wonham, dont la première édition date de 1974 (mais qui a été plusieurs fois réédité), marque l’apogée de cette période^[5]. Concernant les systèmes non linéaires, un livre d'Alberto Isidori (en), dont la première édition date de 1985, puis plusieurs fois réédité et augmenté, a eu une influence considérable^[6].

La robustesse

Bien que la notion de robustesse ait été prise en compte dans des approches fréquentielles traditionnelles, telles que la « théorie quantitative de la rétroaction » développée par Isaac Horowitz dès 1963, c'est vers la fin des années 1970 que la problématique de la commande robuste, qui était complètement occultée dans une approche uniquement algébrique, est apparue comme incontournable. La commande optimale « linéaire quadratique » a des propriétés de robustesse intrinsèques (marge de phase d'au moins 60°, etc.), du moins dans le cas des systèmes monovariables, comme il résulte d'un article publié par Kalman dès 1964. La question s'est donc posée de savoir si cette propriété se conserve en présence d'un observateur. Or en 1978, John Doyle (en), un des pionniers de la théorie de la robustesse, a montré qu’une commande linéaire quadratique gaussienne (LQG) (dont l'observateur est un filtre de Kalman) peut n’avoir aucune propriété de robustesse. Le formalisme H-infini, établi par le mathématicien Godfrey Harold Hardy dès le début du XX^e siècle, mais introduit en 1981 par George Zames dans le domaine de l'automatique, s’est avéré utile pour formaliser les problèmes de commande robuste^[7]. Il a été rapidement associé à des techniques d’optimisation convexe fondées sur des « inégalités matricielles linéaires » (LMI) qui ont pu conduire à des méthodes de synthèse (parfois excessivement) complexes.

Applications de l'analyse algébrique et de l'algèbre différentielle

Enfin, depuis le début des années 1990 se développe une nouvelle approche de l’automatique linéaire fondée sur la théorie des modules (plus précisément, des D-modules) et l’analyse algébrique (branche des mathématiques fondée sur les idées d'Alexandre Grothendieck, puis développée par Mikio Satō, Masaki Kashiwara et, pour ce qui concerne les systèmes d'équations différentielles, Bernard Malgrange^[8]). On peut évoquer ici l’approche « behaviorale » de Jan C. Willems (en), ainsi que les travaux de Michel Fliess (qui a également appliqué aux systèmes non linéaires des méthodes issues de l'algèbre différentielle^[9] et est à l'origine, avec trois autres automaticiens, de la notion de « système plat »), d’Ulrich Oberst, ainsi que de leurs divers collaborateurs et émules^[10].

Différents systèmes

Les systèmes peuvent être classés en plusieurs catégories.

Représentation des systèmes linéaires invariants

Les automaticiens ont l’habitude de représenter graphiquement un système asservi par l’utilisation de schémas fonctionnels.

Représentation fréquentielle

Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas passif d’ordre 1. En pointillés rouges, l’approximation linéaire.

Le diagramme de Bode représente, sur des graphes séparés, le gain et la phase en fonction de la fréquence.

Le diagramme de Nyquist représente la partie imaginaire de la fonction de transfert en fonction de la partie réelle.

Le diagramme de Black représente le gain en fonction de la phase.

Système bouclé

La technique d’automatisation la plus répandue est le contrôle en boucle fermée. Un système est dit en boucle fermée lorsque la sortie du procédé est prise en compte pour calculer l'entrée. Généralement le contrôleur effectue une action en fonction de l’erreur entre la mesure et la consigne désirée. Le schéma classique d'un système linéaire pourvu d'un régulateur linéaire en boucle fermée est le suivant :

Schéma boucle correcteur

La boucle ouverte du système est composée de deux sous-systèmes : le procédé et le régulateur (ou « correcteur »). La fonction de transfert de ce système en boucle ouverte est donc :

${\displaystyle H_{BO}(s)=H(s)\cdot C(s)}$.

Avec cette architecture, on peut recalculer une nouvelle fonction de transfert du système, soit la fonction de transfert en boucle fermée, à l’aide des relations entre les différentes variables :

${\displaystyle y(s)=H(s)\cdot u(s)}$

${\displaystyle u(s)=C(s)\cdot e(s)}$

${\displaystyle e(s)=r(s)-y(s)}$.

On obtient alors : ${\displaystyle y(s)=\left({\frac {H(s)C(s)}{1+H(s)C(s)}}\right)r(s)}$.

La fonction ${\displaystyle H_{BF}(s)={\frac {H(s)C(s)}{1+H(s)C(s)}}}$ représente la fonction de transfert en boucle fermée. On peut remarquer que pour les systèmes à retour unitaire${\displaystyle H_{BF}(s)={\frac {H_{BO}(s)}{1+H_{BO}(s)}}}$ : c’est la formule de Black qui permet de passer d’une fonction de transfert en boucle ouverte (à retour unitaire) à une fonction de transfert en boucle fermée.

Remarques :

• La boucle de retour est le chemin qui part de la sortie et qui revient au comparateur avec le signe "moins". Dans cette boucle, il y a généralement un bloc représentant, dans la plus grande majorité des cas, un capteur. Si ce bloc a comme fonction de transfert "1" (ce qui équivaut à une absence de bloc car la multiplication par 1 ne change rien), on dit que le schéma-bloc est à retour unitaire. La formule précédemment énoncée n'est valable que si le schéma-bloc est à retour unitaire.
• Quel que soit le schéma-bloc (unitaire ou non, avec ou sans perturbation…), le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée est toujours (sauf cas de simplifications pôles/zéros, sources de modes cachés) le numérateur de la fraction rationnelle : ${\displaystyle 1+H_{BO}(s)}$, ${\displaystyle H_{BO}(s)}$ désignant la fonction de transfert en boucle ouverte c'est-à-dire le produit de tous les blocs de la boucle, y compris ceux de la boucle de retour.

L'étude de cette fonction de transfert en boucle fermée ${\displaystyle H_{BF}(s)}$ est un des éléments qui permettent l'analyse fréquentielle et temporelle du système bouclé. Il convient d'étudier également la fonction de sensibilité ${\displaystyle S(s)={\frac {1}{1+H(s)C(s)}}}$ et (notamment pour les questions de stabilité) les deux autres fonctions de transfert ${\displaystyle C(s)S(s)}$ et ${\displaystyle H(s)S(s)}$.

Le système bouclé est stable si aucune des quatre fonctions de transfert ci-dessus n'a de pôles dans le demi-plan droit fermé (c'est-à-dire axe imaginaire inclus). La stabilité du système bouclé peut s'étudier à partir de la fonction de transfert de la boucle ouverte ${\displaystyle H_{BO}(s)}$, ainsi que des pôles de ${\displaystyle C(s)}$ et de ${\displaystyle H(s)}$, grâce au critère de Nyquist^[11].

Exemple de boucle de régulation

Reprenons l’exemple du moteur automobile.

On le commande en choisissant l’ouverture du papillon des gaz intégré au système d’injection du moteur. L’ouverture est directement liée à la force appliquée sur le piston donc à l’accélération du véhicule. Disons qu’elles sont proportionnelles (on néglige les pertes et la résistance de l’air sur le véhicule).

On veut maintenir une certaine vitesse, 90 km/h par exemple. Dans ce cas, 90 km/h est la consigne, il faut la comparer à la vitesse réelle donnée par un tachymètre. La différence donne la variation de vitesse à réaliser. On en déduit l’accélération à demander au véhicule. Connaissant le rapport entre l’accélération et l’ouverture du papillon, on calcule l’ouverture à donner au papillon pour s’approcher de la vitesse de consigne. Le compteur de vitesse prend alors la nouvelle valeur de la vitesse pour réitérer l’opération. De cette manière, lorsqu’on approche de la vitesse voulue, l’accélération diminue jusqu’à s’annuler sans brutalité.

On obtient donc ce schéma.

En réalité, à cause des pertes, il faut maintenir une certaine accélération, entre autres pour lutter contre la résistance de l’air.

Les différentes techniques

Il existe différentes techniques pour synthétiser les régulateurs. La technique industrielle la plus largement utilisée est le régulateur PID qui calcule une action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée en fonction de l’erreur consigne/mesure. Cette technique permet de satisfaire la régulation de plus de 90 % des procédés industriels. La commande à modèle interne (en), généralisation des régulateurs PI ou PID avec prédicteur de Smith (en), offre beaucoup plus de possibilités et est également répandue^[12].

Des techniques avancées se basent sur la commande par retour d'état (ou commande par retour d'état reconstruit par un observateur). On peut aussi utiliser le formalisme du régulateur RST. Ces types de commande peuvent être conçus par placement de pôles ou (pour ce qui concerne les systèmes d’état) par minimisation d’un critère quadratique : commande LQ ou LQG.

Autres commandes :

• La commande prédictive se basant sur l'utilisation d'un modèle dynamique du système pour anticiper son comportement futur.
• La commande robuste permettant de garantir la stabilité par rapport aux perturbations et aux erreurs de modèle. Une commande robuste peut être conçue par minimisation d'un critère (par exemple de nature H-infini^[7]) ou par placement de pôles à condition que le choix des pôles du système bouclé soit judicieux. Encore faut-il souligner que pour un système multivariable, le choix des pôles du système bouclé ne détermine pas le régulateur de façon unique, et que pour un même choix de ces pôles, on peut obtenir des propriétés de robustesse fort différentes^[13]. Toute commande doit être suffisamment robuste.
• La commande adaptative (en) qui effectue une identification en temps réel pour actualiser le modèle du système^[14].
• La logique floue utilisant un réseau de neurones ou un système expert.
• Les contrôleurs non linéaires utilisant la théorie de Lyapunov, les commandes linéarisantes par bouclage et difféomorphisme^[6] (en prêtant une attention toute particulière à la méthode de linéarisation de manière à obtenir une bonne robustesse).
• La commande par modes glissants (en)^[15], basée sur l'utilisation de commandes multivaluées, conduisant a des systemes en boucle fermés representés par des inclusions differentielles, et qui permet de rejeter certaines classes de perturbations inconnues de borne superieure connue.
• La commande par platitude différentielle (en)^[16] (en boucle ouverte), qui permet l'inversion de modèle sans passer par l'intégration des équations différentielles, et ainsi de calculer les signaux nécessaires sur les entrées pour garantir les trajectoires voulues en sortie.
• Les commandes non linéaires utilisant les concepts d'hyperstabilité, de passivité ou de dissipativité (dont on peut trouver un bref historique à l'article Stabilité de Lyapunov). Ces commandes ont connu un essor important depuis le milieu des années 1980, dans divers domaines tels que les systèmes mécaniques (robotique), électro-mécaniques, etc.

Articles connexes

Ouvrages utilisés pour la rédaction de l'article

• (en) Karl Johan Åström et Björn Wittenmark, Adaptive Control, Dover Publications, 2008, 2^e éd., 573 p. (ISBN 978-0-486-46278-3, présentation en ligne)
• (en) Hendrik Wade Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Designer, Huntington, 1975, 577 p. (ISBN 978-0-88275-242-6)
• (en) Henri Bourlès, Linear Systems, John Wiley & Sons, 2010, 544 p. (ISBN 978-1-84821-162-9, lire en ligne)
• (en) Henri Bourlès et Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems : Algebraic-Analytic Approach, Springer, 2011, 638 p. (ISBN 978-3-642-19726-0, présentation en ligne)
• (en) Wendell Helms Fleming et Raymond W. Rishel, Deterministic and Stochastic Optimal Control, Springer, 1975, 222 p. (ISBN 978-3-540-90155-6)
• (en) Michel Fliess et S. T. Glad, « An Algebraic Approach to Linear and Nonlinear Control », dans H. L. Trendelman et J. C. Willems, Essays on Control - Progress in Systems and Control Theory, Birkhäuser, 1993, p. 223-267
• (en) Alberto Isidori, Nonlinear control systems, vol. I, Berlin/Heidelberg/New York, Birkhäuser, 1995, 3^e éd., 549 p. (ISBN 978-3-540-19916-8, présentation en ligne)
• Bernard Malgrange, « Systèmes différentiels à coefficients constants », Séminaire Bourbaki,‎ 1962-1963
• (en) James Clerk Maxwell, « On Governors », Proceedings of the Royal Society, vol. 100,‎ 1868 (lire en ligne)
• (en) Manfred Morari et Evanghelos Zafiriou, Robust Process Control, Englewood Cliffs (N.J.), Prentice-Hall, 1989, 488 p. (ISBN 978-0-13-782153-2, lire en ligne)
• (en) Harry Nyquist, « Regeneration Theory », Bell Syst. Tech. J., vol. 11,‎ 1932, p. 126-147 (lire en ligne)
• (en) Jan Willem Polderman et Jan C. Willems, Introduction to Mathematical Theory : a Behavioral Approach, New York, Springer, 1998, 424 p. (ISBN 978-0-387-98266-3, présentation en ligne)
• (en) Hebertt J. Sira Ramírez et Sunil Kumar Agrawal, Differentially flat systems, Marcel Dekker, 2004, 450 p. (ISBN 978-0-8247-5470-9, présentation en ligne)
• (en) Jean-Jacques E. Slotine et Weiping Li, Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, 1990, 461 p. (ISBN 978-0-13-040049-9)
• (en) W. Murray Wonham, Linear Multivariable Control : A Geometric Approach, New York/Berlin/Paris etc., Springer, 1985, 3^e éd., 334 p. (ISBN 978-0-387-96071-5)
• (en) Kemin Zhou, John Comstock Doyle et Keith Glover, Robust and Optimal Control, Prentice Hall, 1995, 596 p. (ISBN 978-0-13-456567-5)

Autres ouvrages sur le sujet

• Henri Bourlès et Hervé Guillard, Commande des systèmes. Performance et robustesse, Ellipses, 2012 (ISBN 2729875352)
• (en) B. Brogliato, R. Lozano, B. Maschke et O. Egeland, Dissipative Systems Analysis and Control, Londres, Springer Verlag, 2020, 3^e éd., xviii+711 (lire en ligne)
• H.J. Kushner, Stochastic Stability and Control, Academic Press, 1967 (ISBN 0124301509)
• Hassan K. Khalil, Nonlinear Systems, Prentice Hall, 2003 (ISBN 0131227408)
• Ioan Doré Landau, Identification et commande des systèmes, Hermès-Science, 1993 (ISBN 2866013654)
• Philippe de Larminat, Automatique appliquée, 2^e édition, Hermès-Science, 2009 (ISBN 2746223813)
• Philippe de Larminat, Automatique, commande des systèmes linéaires, Hermès-Science, 2^e édition, 1995 (ISBN 286601359X)
• Sandrine Le Ballois, Pascal Codron : Automatique : systèmes linéaires et continus, Dunod (ISBN 2100497324)
• Patrick Prouvost, Automatique : contrôle et régulation, Dunod (ISBN 2100547771)