Corps solide

Fig. A : Première pesée

Un corps solide C₁ est accroché au plateau d'une balance à l'aide d'une tige rigide t de masse M_t inconnue (figure A). La masse m₁ et le volume ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1}}$ du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ne sont pas connus. Une tare T, de masse M_T inconnue, est posée sur l'autre plateau de la balance. Les masses inconnues des deux plateaux de la balance sont notées M₁ et M₂.

L'équilibre du fléau de la balance est réalisé grâce à la présence d'un poids, de masse M_A connue, posée sur le plateau auquel est accroché le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ (à l'extrémité A du fléau).

La force F_A s'exerçant au niveau de l'extrémité A du fléau est égale à :

${\displaystyle F_{A}\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(A)}$

où ${\displaystyle \scriptstyle g}$ est l'accélération de la pesanteur.

Masse du corps solide

Fig. B : Deuxième pesée

Décrochons le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ (figure B). Afin d'équilibrer de nouveau le fléau de la balance, déposons la masse M_A et remplaçons la par une masse M_B. La force F_A s'exerçant au niveau de l'extrémité A du fléau est égale à :

${\displaystyle F_{A}\;=\;M_{t}\;g\;+\;M_{B}\;g\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(B)}$

Puisque le fléau a retrouvé sa position d'équilibre, les forces F_A données par les égalités (A) et (B) sont égales, d'où :

${\displaystyle F_{A}\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;+\;M_{1}\;g\;=\;M_{t}\;g\;+\;M_{B}\;g\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(C)}$

La masse m₁ du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ est donc égale à :

${\displaystyle m_{1}\;=\;M_{B}\;-\;M_{A}\;\;\;\;(D)}$

Densité relative du corps solide

Fig. C : Troisième pesée

Le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ est de nouveau suspendu au plateau (figure C). Mais, cette fois-ci, il est plongé dans un liquide de masse volumique ${\displaystyle \rho _{L}}$ (en principe de l'eau distillée). Afin d'équilibrer la balance, la masse M_B est déposée et une masse M_C est installée à sa place. Le liquide exerce une force sur le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$. Il s'agit de la poussée d'Archimède. C'est une force dont la direction est verticale et dont le sens est dirigée vers le haut. Son module est égal à ${\displaystyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g}$.

La force F_A s'exerçant au niveau de l'extrémité A du fléau est égale à :

${\displaystyle F_{A}\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{C}\;g\;-\;\underbrace {\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g} _{\Pi }\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(E)}$

Puisque le fléau a retrouvé sa position d'équilibre, les forces F_A données par les égalités (A) et (E) sont égales, d'où :

${\displaystyle m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{A}\;g\;+\;M_{1}\;g\;=\;m_{1}\;g\;+\;M_{t}\;g\;+\;M_{C}\;g\;-\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g\;+\;M_{1}\;g\;\;\;\;(F)}$

Donc :

${\displaystyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g\;=\;M_{C}\;g\;-\;M_{A}\;g\;\;\;\;(G)}$

Le module ${\displaystyle \Pi \;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;g}$ de la poussée d'Archimède est assimilable au poids d'un corps liquide : le poids du liquide déplacé par le corps solide ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$. Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ le nom de ce corps liquide. Le volume, la masse volumique et la masse du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ sont donc respectivement égaux à :

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}={\mathcal {V}}_{1}\;\;\;et\;\;\;\rho _{2}=\rho _{L}}$

${\displaystyle m_{2}\;=\;\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{2}\;=\;\rho _{L}\;{\mathcal {V}}_{1}\;=\;{\frac {\Pi }{g}}\;=\;M_{C}\;-\;M_{A}\;\;\;(H)}$

En tenant compte des égalités (D) et (H), on peut donc déterminer la densité relative du corps solide ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ par rapport au corps fluide ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ :

${\displaystyle d_{1/2}\;=\;{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}\;{\mathcal {V}}_{1}}{\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{2}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}\;{\mathcal {V}}_{1}}{\rho _{2}\;{\mathcal {V}}_{1}}}\;=\;{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}\;=\;{\frac {M_{B}-M_{A}}{M_{C}-M_{A}}}\;\;\;\;(I)}$