Les mille premières valeurs de φ(n).

En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.

Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres.

En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie.

L'indicatrice d'Euler est aussi appelée indicateur d'Euler, fonction phi d'Euler ou simplement fonction phi, car la lettre ${\displaystyle \varphi }$ (ou ${\displaystyle \phi }$) est communément utilisée pour la désigner.

Elle porte le nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui fut le premier à l'étudier.

Histoire et notation

Leonhard Euler a le premier étudié cette fonction dans les années 1750, mais tout d'abord sans lui donner de nom^[1]. Ce n'est qu'en 1784, dans un article où il reprend l'étude de cette fonction, qu'il utilise pour la dénoter la lettre grecque π, sans parenthèses autour de l'argument : denotet character πD multitudinem istam numerorum ipso D minorum, et qui cum eo nullum habeant divisorem communem^[2]. C'est finalement en 1801 que Carl Friedrich Gauss introduit la lettre grecque ϕ, dans les Disquisitiones Arithmeticae (art. 38)^[3], toujours sans user de parenthèses autour de l'argument ; il écrit ainsi ϕA pour ce qui est noté maintenant ϕ(A). De nos jours, on emploie la lettre grecque phi minuscule en italique ϕ ou φ.

En 1879, J. J. Sylvester invente le terme de totient pour désigner cette fonction^[4], de sorte qu'elle est généralement désignée sous le terme de « Euler's totient function » dans les écrits anglophones. Le terme totient est employé pour la fonction totient de Jordan, qui est une généralisation de l'indicatrice d'Euler.

Définition et exemples

L'indicatrice d'Euler est la fonction φ, de l'ensemble ℕ^* des entiers strictement positifs dans lui-même, définie par :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\varphi &:&\mathbb {N} ^{*}&\longrightarrow &\mathbb {N} ^{*}\\&&n&\longmapsto &\mathrm {card} (\{m\in \mathbb {N} ^{*}~|~m\leqslant n~{\text{et}}~m~\mathrm {premier~avec} ~n\}).\end{array}}}$

Par exemple :

• φ(8) = 4 car parmi les nombres de 1 à 8, seuls les quatre nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8 ;
• φ(12) = 4 car parmi les nombres de 1 à 12, seuls les quatre nombres 1, 5, 7 et 11 sont premiers avec 12 ;
• un entier p > 1 est premier si et seulement si tous les nombres de 1 à p – 1 sont premiers avec p, c.-à-d. si et seulement si φ(p) = p – 1 ;
• φ(1) = 1 car 1 est premier avec lui-même (c'est le seul entier naturel qui vérifie cette propriété, si bien que pour tout entier n > 1, on peut remplacer non seulement m ∈ ℕ* par m ∈ ℕ mais m ≤ n par m < n, dans la définition ci-dessus de φ(n)).

On trouvera ci-dessous les 99 premières valeurs de la fonction φ (suite  A000010 de l'OEIS).

Les 100 premières valeurs de la fonction φ.

${\displaystyle \varphi (n)}$	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

Premières propriétés

Les ${\displaystyle \varphi (11)/2=5}$ hendécagones réguliers (à 11 sommets)

Calcul

La valeur de l'indicatrice d'Euler s'obtient à partir de la décomposition en facteurs premiers de n :

${\displaystyle {\rm {si}}\quad n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\quad {\rm {alors}}\quad \varphi (n)=\prod _{i=1}^{r}(p_{i}-1)p_{i}^{k_{i}-1}=n\prod _{i=1}^{r}{\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right)}}$

où chaque p_i désigne un nombre premier et k_i un entier strictement positif : on peut le déduire du théorème précédent^[5] ou, plus élémentairement, du principe d'inclusion-exclusion.

Par exemple, pour les nombres sans facteurs carré ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}}$, comme par exemple les primorielles, on obtient ${\displaystyle \quad \varphi (n)=\prod _{i=1}^{r}(p_{i}-1)}$.

Transformée de Fourier

L'indicatrice d'Euler est la transformée de Fourier discrète du PGCD, évaluée en 1^[6].

Soit

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\mathbf {x} \}[m]=\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\cdot \mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi {\frac {mk}{n}}}}$

où x_k = PGCD(k,n) pour k ∈ {1, ..., n}. Alors

${\displaystyle \varphi (n)={\mathcal {F}}\{\mathbf {x} \}[1]=\sum \limits _{k=1}^{n}\mathrm {PGCD} (k,n)\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi {\frac {k}{n}}}.}$

La partie réelle de la formule est

${\displaystyle \varphi (n)=\sum \limits _{k=1}^{n}\mathrm {PGCD} (k,n)\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right).}$

Par exemple, en utilisant ${\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{5}}={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$ et ${\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi (10)&=&\mathrm {PGCD} (1,10)\cos {\tfrac {2\pi }{10}}+\mathrm {PGCD} (2,10)\cos {\tfrac {4\pi }{10}}+\mathrm {PGCD} (3,10)\cos {\tfrac {6\pi }{10}}+\cdots +\mathrm {PGCD} (10,10)\cos {\tfrac {20\pi }{10}}\\&=&1\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+2\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+1\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+2\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+5\cdot (-1)\\&&+\ 2\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+1\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+2\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+1\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+10\cdot (1)\\&=&4.\end{array}}}$$

Contrairement au produit d'Euler et la formule de la somme des diviseurs, Celle-ci ne requiert pas de connaître les facteurs de n. Cependant, elle implique le calcul du PGCD de n et de tous les entiers positifs inférieurs à n, ce qui suffit par ailleurs à donner la factorisation.

Autres propriétés

Arithmétique modulaire

L'indicatrice d'Euler est une fonction essentielle de l'arithmétique modulaire ; elle est à la base de résultats fondamentaux, à la fois en mathématiques pures et appliquées.

Si a divise b alors φ(a) divise φ(b).

Si n a q diviseurs premiers impairs distincts, φ(n) est divisible par 2^q.

Ces deux propriétés peuvent se déduire du calcul explicite de φ.

Pour tout entier n > 2, φ(n) est pair et la somme de tous les entiers positifs inférieurs et premiers à n est égale à n φ(n)/2.

En effet, m ↦ n – m est une bijection entre les entiers premiers à n compris entre 0 (ou 1) et n/2 et ceux compris entre n/2 et n, et n/2 peut être entier mais pas premier à n.

Dans le groupe (ℤ/nℤ, +), les éléments d'ordre d (un diviseur de n) sont les générateurs du sous-groupe engendré par n/d. Si les éléments de ℤ/nℤ sont partitionnés selon leurs ordres, on obtient donc^[7] :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad n=\sum _{d|n}\varphi (d)}$.

La formule d'inversion de Möbius donne alors :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}}$,

où μ désigne la fonction de Möbius.

Applications

• La cryptologie utilise cette fonction. Le chiffrement RSA se fonde sur la propriété suivante (théorème d'Euler) :

Théorème — Si n est un entier strictement positif et a un entier premier à n, alors a^φ(n) ≡ 1 (modulo n).

• Une autre branche de la théorie de l'information utilise l'indicatrice : la théorie des codes. C'est les cas des codes correcteurs, et particulièrement des codes cycliques. Ce type de code se construit à l'aide d'un polynôme cyclotomique, or
  Le degré du n-ième polynôme cyclotomique Φ_n est égal à φ(n).

Théorie analytique des nombres

Fonctions génératrices

Les deux formules φ = μ ✻ Id et φ ✻ 1 = Id, présentées ci-dessus, où ✻ désigne la convolution de Dirichlet, permettent de calculer respectivement les fonctions génératrices de Dirichlet et de Lambert.

Comme la série de Dirichlet génératrice de μ est 1/ζ(s) — où ζ est la fonction zêta de Riemann — et celle de Id est ζ(s – 1), on en déduit celle de φ (qui converge pour Re(s) > 2) :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}$

La série de Lambert associée à φ (qui converge pour |q| < 1) est

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }mq^{m}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

Moyenne asymptotique

Arnold Walfisz a établi^[8]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\varphi (n)={\frac {3}{\pi ^{2}}}x^{2}+O\left(x(\log x)^{2/3}(\log \log x)^{4/3}\right)\ \ (x\rightarrow \infty )}$

(où O est le grand O de Landau), en exploitant entre autres des estimations de sommes d'exponentielles dues à I. M. Vinogradov et à N. M. Korobov. À ce jour, c'est toujours la meilleure estimation de ce type démontrée.

Croissance de la fonction

Asymptotiquement, on a

${\displaystyle n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)\leqslant n-1\ }$

pour n'importe quel ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ et ${\displaystyle n>N(\varepsilon )\,}$ . L'égalité à la borne supérieure est satisfaite chaque fois que n est un nombre premier. Et si on considère la relation

${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}=\prod _{p|n,\ p{\text{ premier}}}(1-p^{-1})\,}$

on peut constater que les valeurs de n correspondant aux valeurs particulièrement petites de ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}}$ sont les n primoriels, c’est-à-dire ceux qui sont le produit d'un segment initial de la suite de tous les nombres premiers. À partir du troisième théorème de Mertens et des inégalités de Tchebychev on peut montrer que l'estimation ci-dessus peut être remplacée par

${\displaystyle {\frac {{\rm {e}}^{-\gamma }n}{\ln \ln n}}(1+o(1))<\varphi (n)\leqslant n-1\ }$

(où o est le petit o de Landau et ${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler-Mascheroni), et que la minoration est optimale.

Autres formules impliquant la fonction φ d'Euler

• ${\displaystyle \forall n>0,\ \forall a>1\quad n|\varphi (a^{n}-1)}$
  car l'ordre multiplicatif de a modulo aⁿ – 1 vaut n.
• ${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n){\frac {d}{\varphi (d)}}{\text{ pour }}d={\rm {pgcd}}(m,n),}$
  en particulier :
  • ${\displaystyle \varphi (2m)={\begin{cases}2\varphi (m)&{\text{ si }}m{\text{ est pair}}\\\varphi (m)&{\text{ si }}m{\text{ est impair}}\end{cases}}}$
  • ${\displaystyle \forall k\geq 1\quad \varphi (n^{k})=n^{k-1}\varphi (n).}$
• ${\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}.}$
• ${\displaystyle \forall n>1\quad \sum _{1\leq k\leq n \atop {\rm {pgcd}}(k,n)=1}k={\frac {1}{2}}n\varphi (n).}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right).}$
• En 1965, P. Kesava Menon a démontré^[9]${\displaystyle \sum _{{\stackrel {1\leq k\leq n}{\rm {pgcd}}}(k,n)=1}{\rm {pgcd}}(k-1,n)=\varphi (n)d(n)}$où d est la fonction nombre de diviseurs

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ={\frac {6}{\pi ^{2}}}n+O\left((\log n)^{2/3}(\log \log n)^{4/3}\right)}$ ^[8].
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\frac {315~\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}n-{\frac {\log n}{2}}+O\left((\log n)^{2/3}\right)}$ ^[15].
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\frac {315~\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}\left(\log n+\gamma -\sum _{p{\text{ premier}}}{\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right)+O\left({\frac {(\log n)^{2/3}}{n}}\right)}$ ^[15]
  (γ est la constante d'Euler).
• ${\displaystyle \forall m>1\quad \sum _{1\leq k\leq n \atop {\rm {pgcd}}(k,m)=1}1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$
  où ω(m) est le nombre de diviseurs premiers de m distincts.

Inégalités

Voici quelques inégalités impliquant la fonction φ :

${\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{{\rm {e}}^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}}$ pour n > 2^[16],[17],

${\displaystyle \varphi (n)\geqslant {\sqrt {\frac {n}{2}}}}$ pour n > 0

et

${\displaystyle \varphi (n)\geqslant {\sqrt {n}}}$ pour n > 6.

On a déjà remarqué que pour n premier, φ(n) = n – 1. Pour un nombre composé n, nous avons ${\displaystyle \varphi (n)\leqslant n-{\sqrt {n}}.}$

Par conséquent, pour tout n > 1 : ${\displaystyle 0<{\frac {\varphi (n)}{n}}<1.}$

Pour un grand n aléatoire, ces bornes 0 et 1 ne peuvent pas être améliorées. En effet, ce sont les limites inférieure et supérieure de φ(n)/n.

Deux inégalités combinant la fonction φ et la fonction somme des diviseurs σ sont :

${\displaystyle {\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi (n)\sigma (n)<n^{2}{\mbox{ pour }}n>1.}$

Conjectures

Les résultats ci-dessous ne sont encore que des conjectures à l'heure actuelle :

• ${\displaystyle n}$ est premier si (et seulement si) ${\displaystyle n\equiv 1{\bmod {\varphi }}(n)}$ (c'est le problème de Lehmer, énoncé par Derrick Lehmer)
• ${\displaystyle \forall {n>0}\quad \exists {m\neq n}\quad \varphi (n)=\varphi (m)}$ (c'est la « conjecture de Carmichael » que Robert Daniel Carmichael, en 1907, a énoncée et cru démontrer, mais qui reste toujours un problème ouvert).

Nombres remarquables

À partir de la fonction indicatrice d'Euler et de fonctions proches, diverses familles de nombres remarquables peuvent être définies.

Notes et références

Articles connexes