Fondation

Selon la loi de Moore, le nombre de composants des microprocesseurs double tous les 18 mois. Cette « loi » pouvant devenir fausse à terme en raison des effets quantiques aux très petites échelles, Richard Feynman suggéra de changer de paradigme et de ne plus « subir » ces effets quantiques, mais au contraire de les « utiliser » pour assurer une sorte de parallélisme du calcul.

Alors que selon la thèse de Church tout calcul doit être exécutable sur la Machine de Turing universelle, celle-ci ne semble pas pouvoir simuler un calculateur quantique. Dans un premier temps, un autre type de calcul semblait avoir contredit cette thèse, le calculateur analogique. Cette contradiction apparente a néanmoins été rapidement réfutée parce que la question du bruit n'avait pas été abordée, et la surpuissance espérée du calculateur analogique est réduite par ce bruit de fond qui nuit à la précision des mesures.

La prise en compte du bruit et sa compensation sont également un des défis du calculateur quantique. En particulier, la théorie de l'information quantique traite des codes correcteurs quantiques et du calcul quantique avec tolérance d'erreurs.

Résultats non négatifs

Deux résultats des années 1990 indiquent que des ordinateurs équipés de circuits de calcul quantique pourraient aborder des problèmes hors de portée des machines de Turing, déterministes comme stochastiques : en 1994, Peter Shor invente l'algorithme de Shor qui permet de calculer en un temps polynomial (et non exponentiel) la décomposition en produit de facteurs premiers et le logarithme discret. En 1995, Lov Grover invente l'algorithme de Grover permettant une recherche rapide dans un espace non structuré.

Les problèmes résolus par l'algorithme de Shor sont ceux du cassage rapide d'un chiffrement en cryptographie. Sans que l'algorithme de Grover représente un progrès comparable, il a en revanche une base d'utilisation bien plus importante, presque tous les ordinateurs se livrant en permanence à des travaux d'accès à des bases de données.

Cristaux quantiques

Des scientifiques ont réussi à créer des groupes de particules quantiques (quantums) changeant constamment d'état sans jamais trouver un état d'équilibre, ce qui correspond à un nouvel état de la matière. Ils ont pour cela utilisé des lasers pour inverser le spin d'ions, générant une oscillation que ces cristaux peuvent maintenir sans consommer d'énergie supplémentaire. Tout comme les atomes des cristaux normaux sont stables (c'est-à-dire résistants aux changements dans l'espace), les cristaux de temps semblent se maintenir, ce qui présente un intérêt pour l'informatique quantique^[2].

Intrication quantique

En mécanique quantique, on appelle intricat un état physique où sont intriqués un système S1 et un système S2 sans que l'espace de Hilbert soit la somme tensorielle de l'espace de S1 et de l'espace S2. Il y a même au contraire corrélation complète de S1 et de S2 de sorte que l'entropie de (S1 union S2) dans un intricat est simplement celle de S2 ou de S1. Il y a sous-additivité complète.

L'intrication quantique est la ressource naturelle principale, utilisée en informatique quantique : actuellement, on la compare même au fer, tel que considéré à l'âge du bronze. De fait, la théorie de l'informatique quantique a beaucoup progressé depuis que l'on sait réaliser des intricats de faible décohérence : alors il est devenu pensable de prévoir un futur ordinateur quantique. Les mathématiciens (Shor, Kitaev…) ont fondé le tout nouveau calcul quantique, qui est en train de révolutionner le calcul de la complexité algorithmique.

Bits vs qubits

Les opérations ne sont plus appliquées à des bits, mais à des qubits. L'espace des états possibles n'est pas le même que dans le monde classique. Les deux qubits possibles sont ${\displaystyle |0\rangle }$ et ${\displaystyle |1\rangle }$. Une différence majeure d'avec les bits, c'est qu'un qubit peut être dans un état superposé : c'est le phénomène de superposition. En général, un qubit est

${\displaystyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

où ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$. Donc, à la mesure, on trouve ${\displaystyle |0\rangle }$ avec probabilité de ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ et ${\displaystyle |1\rangle }$, avec une probabilité de ${\displaystyle |\beta |^{2}}$. Surviennent ainsi les questions de mesure quantique, de distinction des états quantiques et de mesure projective.

Il y a plusieurs façons physiques de fabriquer un qubit. Parmi celles-ci :

• spin d'électron ;
• niveaux d'énergie dans un atome ;
• polarisation d'un photon.

Algèbre linéaire

Selon le principe de physique quantique, on conçoit le système physique comme un espace de Hilbert à ${\displaystyle d}$ dimensions. Une panoplie d'outils pour traiter ces entités existe en algèbre linéaire. La notation habituelle pour les vecteurs est remplacée par la notation bra-ket telle qu'expliquée ci-dessus pour les états quantiques ${\displaystyle \psi }$, simplifiant l'écriture des produits scalaires. Les états quantiques sont représentés par des vecteurs.

Le vecteur aussi appelé ket :

${\displaystyle |\psi \rangle }$

Le vecteur dual (autrement dit, transposé et conjugué) du ket, aussi appelé bra :

${\displaystyle \langle \psi |}$

Les matrices typiquement utilisées sont : matrice hermitienne, matrice normale, matrice unitaire, matrice positive, matrice de densité, matrices de Pauli, matrice de Hadamard.

Matrices de densité

Les matrices de densité sont des objets mathématiques qui peuvent traiter tous les types d'états quantiques utiles à l'informatique quantique : l'état pur tout comme l'état mélangé, qui est un mélange d'états purs.

Opérations ou théorèmes utiles

Les matrices ont généralement la fonction d'opérateurs linéaires. De plus, certaines opérations sur ces opérateurs sont également définies.

• Opérations sur les vecteurs ${\displaystyle |\phi \rangle }$ et ${\displaystyle |\psi \rangle }$ : produit scalaire ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$, produit tensoriel ${\displaystyle |\phi \rangle \otimes |\psi \rangle }$ ou ${\displaystyle |\phi \rangle |\psi \rangle }$
• Opérations sur les matrices A : conjugaison complexe A^* ou hermitienne A^t, transposition A^T, trace tr(A), diagonalisation
• Mesures : mesure quantique, distinction des états quantiques et mesure projective. Les mesures projectives sont des opérateurs qui sont des projecteurs (observables)
• Théorème de décomposition spectrale, inégalité de Cauchy-Schwarz

Algèbre abstraite

Du domaine de l'algèbre abstraite, les groupes de Lie suivants sont utiles : ${\displaystyle SU(2)}$ et ${\displaystyle SO(3)}$.

${\displaystyle SU(2)}$, le groupe spécial unitaire de degré ${\displaystyle 2}$

Le groupe ${\displaystyle SU(2)}$ est isomorphe au groupe des quaternions de valeur absolue ${\displaystyle 1}$ et est donc identique à la sphère ${\displaystyle S^{3}}$ de dimension ${\displaystyle 3}$. Comme les quaternions représentent les rotations dans l’espace à ${\displaystyle 3}$ dimensions, il existe un homorphisme surjectif de groupes de Lie ${\displaystyle SU(2)\rightarrow SO(3,\mathbb {R} )}$ de noyau ${\displaystyle \{I,-I\}}$. Les matrices dites matrices de Pauli forment une base de ${\displaystyle SU(2)}$. Ces matrices sont souvent utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules.

${\displaystyle SO(3)}$, le groupe orthogonal de degré ${\displaystyle 3}$ du corps ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Le groupe ${\displaystyle SO(3)}$, compris comme l’ensemble des rotations dans l’espace tridimensionnel, est appelé groupe des rotations.

En termes de topologie algébrique, pour ${\displaystyle n>2}$, le groupe fondamental de ${\displaystyle SO(n)}$ est le groupe cyclique d’ordre ${\displaystyle 2}$ et le groupe Spin ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ est son recouvrement universel. Pour ${\displaystyle n=2}$, le groupe fondamental est le groupe cyclique infini et son recouvrement universel correspond à la droite des réels.

Complexité algorithmique

Pour l'article détaillé, voir complexité algorithmique quantique.

Une sous-branche de la théorie de la complexité pour traiter de l'algorithmique de l'informatique quantique.

Ordinateurs quantiques

Le calcul automatique utilisant les propriétés quantiques peut se concevoir en deux familles possibles :

• Un ordinateur, c'est-à-dire une machine du type de von Neumann dont le programme lui-même serait quantique, en particulier les adresses d'exécution^[3],
• Un calculateur quantique, c'est-à-dire un ordinateur classique utilisant simplement un circuit quantique de calcul.

Un calculateur quantique opère ses calculs grâce, entre autres, à la superposition d'états quantiques. De petits calculateurs quantiques ont déjà été construits dans les années 1990 et des progrès sont en cours. C'est un domaine en plein essor soutenu financièrement par de nombreuses organisations, entreprises ou gouvernements, du fait de l'importance de l'enjeu : révolutionner l'informatique avec une puissance et des opérations inimaginables à l'aide d'un ordinateur classique.

La fabrication d'un « ordinateur quantique » nécessiterait l'utilisation de techniques que l'on commence à peine à maîtriser pour certaines. Les circuits de calcul quantique sont dans les modèles théoriques actuels utilisés par un programme d'ordinateur classique et font qu'on parle plutôt de circuit de calcul quantique, sorte de périphérique de calcul rapide. Il s'agit pour le reste d'algorithmes classiques utilisant des circuits de calcul quantique et non (en tout cas pour le moment, 2009) d'« algorithmes quantiques ».

Théorie de l'information quantique

Pour l'article détaillé, voir théorie de l'information quantique.

Une sous-branche de la théorie de l'information pour traiter de l'information de l'informatique quantique. Les principaux sujets traités sont les codes correcteurs quantiques et le calcul quantique avec tolérance d'erreurs. La téléportation quantique joue aussi un rôle central.

Cryptographie quantique

Exemple de disposition d'un cryptosystème quantique.

Pour l'article détaillé, voir Cryptographie quantique.

La cryptographie quantique, plus correctement nommée distribution quantique de clés, désigne un ensemble de protocoles permettant de distribuer une clé de chiffrement secrète entre deux interlocuteurs distants, tout en assurant la sécurité de la transmission grâce aux lois de la physique quantique et de la théorie de l'information. Cette clé secrète peut ensuite être utilisée dans un algorithme de chiffrement symétrique, afin de chiffrer et déchiffrer des données confidentielles.

Bibliographie

• (en) M.A. Nielsen et Isaac Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000.
• Jozef Gruska, Quantum computing, Londres, McGraw-Hill Companies, 1999, 439 p. (ISBN 978-0-07-709503-1).

Liens internes

• Algorithme de Grover
• Algorithme de Deutsch-Jozsa
• Logarithme d'une matrice

Liens externes

• «Suprématie quantique, que de la Google ?», La Methode scientifique, France Culture, 16 octobre 2019
• (fr) Introduction à l'informatique quantique sans équations, Alexandre Blais (Yale)
• (en) Introduction à l'informatique quantique, pour les non-physiciens, Michel Le Bellac (CNRS)
• (en) Wiki d'informatique quantique
• Quantum Library : Bibliothèque C++ simulant le comportement de qubits permettant le développement d'algorithme quantique