État pur

Dans le cas où le système global {S₁+S₂} peut être décrit par un vecteur d'état, son état est un vecteur de l'espace de Hilbert ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$. Certains états peuvent s'écrire sous la forme d'un produit tensoriel entre un état de S₁ et un état de S₂ :

${\displaystyle |\Psi _{1+2}\rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle =|\psi _{1}\rangle \ |\psi _{2}\rangle }$

Ces états sont appelés états séparables ou factorisables. Le système S₁ est dans un état quantique clairement identifié, ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, qui n'est pas altéré par les mesures effectuées sur S₂.

Un état intriqué est par définition un état non séparable, qui s'écrit en général sous la forme

${\displaystyle |\Psi _{1+2}\rangle =a\ |\varphi _{1}\rangle \ |\varphi _{2}\rangle +b\ |\psi _{1}\rangle \ |\psi _{2}\rangle +\dots }$

C'est donc une superposition d'états d'un système biparti. Pour illustrer la différence entre états séparables et intriqués, supposons par exemple que ${\displaystyle \{|+\rangle _{1},|-\rangle _{1}\}}$ forme une base de l'espace ${\displaystyle H_{1}}$, et ${\displaystyle \{|+\rangle _{2},|-\rangle _{2}\}}$ une base de l'espace ${\displaystyle H_{2}}$. L'état :

${\displaystyle |\Psi _{\text{sep}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle _{1}|-\rangle _{2}-|-\rangle _{1}|-\rangle _{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{1}-|-\rangle _{1})\otimes |-\rangle _{2}}$

est un état séparable, puisqu'il peut être factorisé comme indiqué ci-dessus, tandis que l'état :

${\displaystyle |\Psi _{\text{int}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle _{1}|-\rangle _{2}-|-\rangle _{1}|+\rangle _{2}\right)}$

est un état intriqué.

Démonstration

Si ${\displaystyle |\Psi _{\text{int}}\rangle }$ était un état factorisable, on devrait pouvoir l'écrire sous la forme générale :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle _{1}|-\rangle _{2}-|-\rangle _{1}|+\rangle _{2}\right)=(a|+\rangle _{1}+b|-\rangle _{1})\otimes (c|+\rangle _{2}+d|-\rangle _{2}),}$

où ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle d}$ sont quatre nombres complexes. Dans le second membre, le premier terme représenterait l'état du sous-système S₁ dans l'espace ${\displaystyle H_{1}}$, et le second terme représenterait l'état du sous-système S₂ dans l'espace ${\displaystyle H_{2}}$. On obtient alors le système suivant :

${\displaystyle {\begin{cases}ac=0&(1)\\bd=0&(2)\\ad={\frac {+1}{\sqrt {2}}}&(3)\\bc={\frac {-1}{\sqrt {2}}}&(4)\end{cases}}}$

Pour que l'équation (1) soit vérifiée, il est nécessaire soit que ${\displaystyle a=0}$, ce qui est incompatible avec (3), soit que ${\displaystyle c=0}$, ce qui est incompatible avec (4). Le système ci-dessus n'a donc pas de solution, montrant que l'état ${\displaystyle |\Psi _{\text{int}}\rangle }$ n'est pas factorisable.

Par suite, il existe des états a priori légitimes d'un système global {S₁ + S₂} qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme du produit tensoriel d'un état d'un sous-système S₁ par un état d'un sous-système S₂ ; pour de tels états intriqués, il est donc impossible de parler de « l'état de S₁ »^{[note 1]} : seul le système global {S₁ + S₂} a un état défini, état défini par le premier membre de la relation ci-dessus. En un sens, il n'est plus possible de séparer conceptuellement les deux systèmes.

La principale caractéristique de l'état ${\displaystyle |\Psi _{\text{int}}\rangle }$ est qu'il y a corrélation parfaite^{[note 2]} des mesures réalisées sur S₁ avec les mesures réalisées sur S₂. Ainsi, supposons que l'on mesure l'état de S₁ dans la base « +/– » et que l'on trouve « + » (ce qui peut arriver aléatoirement dans 50 % des cas). Le système total {S₁+S₂} est alors projeté dans l'état ${\displaystyle |+\rangle _{1}|-\rangle _{2}}$, de sorte que la mesure de S₂ donnera « – » avec certitude, même si les deux mesures sont séparées par un intervalle de genre espace dans l'espace-temps. Einstein décrivait ce phénomène comme une « action surnaturelle à distance », car tout se passe comme si la mesure effectuée sur S₁ à un instant donné avait un effet absolument instantané sur le résultat de la mesure effectuée sur S₂ même si les deux événements ne sont pas reliés causalement, c'est-à-dire même si une information partant de S₁ et se déplaçant à la vitesse de la lumière n'a pas le temps d'informer S₂ du résultat de la mesure sur S₁. De fait, un système intriqué forme absolument un tout, qui ne peut pas être séparé en deux systèmes indépendants tant qu'il reste intriqué, quelle que soit l'étendue spatiale de ce système. Voir ci-dessous les conséquences philosophiques que cela peut avoir, ainsi que l'article relatif au paradoxe EPR et celui relatif à l'expérience d'Aspect au cours de laquelle des états intriqués d'un système de deux photons ont été produits en laboratoire pour la première fois, chaque photon représentant l'un des deux sous-systèmes S₁ et S₂ du système global {S₁ + S₂} constitué par l'ensemble des deux photons.

État mixte

Expérimentalement, il n'est pas possible de préparer un état quantique bien déterminé avec une reproductibilité de 100 %. Pour tenir compte de cette préparation imparfaite, on décrit l'état du système par une matrice densité, qui pondère chaque état pur par la probabilité de produire cet état : ${\displaystyle \textstyle \rho =\sum _{\psi }p_{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |}$. On peut donc se demander quelle est la définition d'un état séparable décrit par une matrice densité. Un premier choix serait de définir les états séparables comme étant ceux qui s'écrivent :

${\displaystyle \rho ^{(1+2)}=\rho ^{(1)}\otimes \rho ^{(2)}}$.

Ces états sont effectivement séparables, car il n'y a aucune corrélation entre les mesures faites sur S₁ et celles faites sur S₂, mais la définition peut être étendue, et l'écriture la plus générale pour la matrice densité d'un état séparable est :

${\displaystyle \rho _{\text{sep}}^{(1+2)}=\sum _{i}p_{i}\rho _{i}^{(1)}\otimes \rho _{i}^{(2)}}$,

où ${\displaystyle p_{i}}$ est une loi de probabilité (${\displaystyle p_{i}>0}$ et ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$).

Cette définition présente l'avantage d'inclure les systèmes corrélés classiquement dans les états séparables. Supposons par exemple une expérience qui produise deux particules simultanément, et aléatoirement une fois sur deux un état ${\displaystyle |+\rangle _{1}|-\rangle _{2}}$, et une fois sur deux un état ${\displaystyle |-\rangle _{1}|+\rangle _{2}}$. L'état ainsi produit est représenté par la matrice ${\displaystyle \rho =\textstyle {\frac {1}{2}}(|+\rangle \langle +|_{1}\otimes |-\rangle \langle -|_{2})+\textstyle {\frac {1}{2}}(|-\rangle \langle -|_{1}\otimes |+\rangle \langle +|_{2})}$. Alternativement, on peut imaginer un physicien facétieux qui envoie chaque jour deux lettres, l'une contenant un signe « + » et l'autre contenant un signe « – », à deux de ses collègues (1 et 2), mais en faisant correspondre aléatoirement les lettres et les adresses. Les mesures réalisées sur S₁ seront parfaitement corrélées à celles réalisées sur S₂ : si la mesure donne « + » pour un système, on est sûr que la mesure de l'autre système donnera « – ». Cependant, ces corrélations ne sont pas de nature quantiques : elles existent dès la production des deux particules et ne proviennent pas du fait que l'on mesure l'état du système. En particulier, si l'on changeait de base de mesure en utilisant une observable ne commutant pas avec l'observable « signe », on s'apercevrait que l'état ainsi produit ne viole pas les inégalités de Bell. Les résultats sont donc différents de ceux obtenus avec l'état intriqué ${\displaystyle |\Psi _{\text{int}}\rangle }$ décrit précédemment.

Dans le formalisme de la matrice densité, un état intriqué est simplement défini comme un état qui n'est pas séparable. Dans le cas général, même lorsque l'on connaît la matrice densité d'un système, il est difficile de dire si l'état obtenu est intriqué ou séparable. Une condition nécessaire est de regarder si la « transposée partielle » de la matrice densité est positive. Pour les dimensions ${\displaystyle 2\otimes 2}$ et ${\displaystyle 2\otimes 3}$, cette condition est également suffisante.

Notes

Références

Bibliographie

• Nicolas Gisin (préf. Alain Aspect), L'Impensable Hasard : Non-localité, téléportation et autres merveilles quantiques, Paris, Odile Jacob, 2012, 170 p. (ISBN 978-2-7381-2831-7)
• Dąbrowski, M., Parniak, M., & Wasilewski, W. (2017). Einstein–Podolsky–Rosen paradox in a hybrid bipartite system. Optica, 4(2), 272-275.
• Dąbrowski, M., Mazelanik, M., Parniak, M., Leszczyński, A., Lipka, M., & Wasilewski, W. (2017). Certification of high-dimensional entanglement and Einstein-Podolsky-Rosen steering with cold atomic quantum memory. arXiv preprint arXiv:1711.08948.
• Dąbrowski, M., Parniak, M., & Wasilewski, W. (2017, June). Realization of multidimensional einstein-podolsky-rosen paradox between single photon and atomic spin-wave excitation . In Lasers and Electro-Optics Europe & European Quantum Electronics Conference (CLEO/Europe-EQEC, 2017 Conference on) (pp. 1-1). IEEE.
• Hensen, B., Kalb, N., Blok, M. S., Dréau, A. E., Reiserer, A., Vermeulen, R. F. L., ... & Elkouss, D. (2016). Loophole-free Bell test using electron spins in diamond: second experiment and additional analysis. Scientific reports, 6, 30289. ;
• Josse, V. (2003). Réduction du bruit de polarisation et intrication quantique en variables continues avec un nuage d'atomes froids (Doctoral dissertation, Université Pierre et Marie Curie-Paris VI)(fr)
• Keller, G. (2008). Génération et caractérisation d'états intriqués en variables continues (Doctoral dissertation, Université Pierre et Marie Curie-Paris VI) (fr)
• Jean Perdijon, Peut-on sacrifier l'idée de réalité ? La visite du physicien qui refusait l'intrication, Paris, L'Harmattan, 2020.
• Richens, J. G., Selby, J. H., & Al-Safi, S. W. (2017). Entanglement is necessary for emergent classicality in all physical theories. Physical review letters, 119(8), 080503|résumé & https://arxiv.org/pdf/1705.08028 Preprint]
• Zarkeshian, P., Deshmukh, C., Sinclair, N., Goyal, S. K., Aguilar, G. H., Lefebvre, P., ... & Nam, S. W. (2017). Entanglement between more than two hundred macroscopic atomic ensembles in a solid . Nature communications, 8(1), 906 ;
• Shahandeh, F., Costa, F., Lund, A. P., & Ralph, T. C. (2017). Assisted Macroscopic Quantumness. arXiv preprint arXiv:1711.10498.
• Massimo Teodorani, Entanglement : l'intrication quantique, des particules à la conscience, Macro Editions, 2011, 200 p. (ISBN 88-6229-920-6)

Articles connexes

Liens externes

• «Les intrigantes intrications du monde quantique», La Conversation scientifique, France Culture, 29 février 2020
• «Une histoire de l'intrication quantique», vidéo YouTube (consulté le 7 février 2020)
• «Intrication quantique : un étrange aspect de la matière», La Méthode scientifique, France Culture, 14 mai 2019
• LKB site de l'ENS Paris
• Cours de Serge Haroche au Collège de France