Paramétrage avec la forme k et l'échelle θ

Soient k et θ deux réels strictement positifs. Une variable aléatoire X suit une loi Gamma de paramètres k et θ, ce que l'on note aussi ${\displaystyle X\,\sim \Gamma (k,\theta )}$ (où Γ est la majuscule de la lettre grecque gamma) si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}}$,

pour tout x > 0. Dans l'expression ci-dessus, Γ désigne la fonction Gamma d'Euler. Le paramètre k s'appelle le paramètre de forme, et le paramètre θ est un paramètre d'échelle.

Paramétrage avec la forme α et l'intensité β

Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme α = k et d'un paramètre d'intensité ${\displaystyle \beta =1/\theta }$ (rate parameter) :

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )=x^{\alpha -1}{\frac {\beta ^{\alpha }\,\mathrm {e} ^{-\beta \,x}}{\Gamma (\alpha )}}\ \mathrm {pour} \ x>0}$.

Les deux paramétrages sont répandus, selon le contexte. On note la même notation ${\displaystyle \Gamma (k,\theta )}$ et ${\displaystyle \Gamma (\alpha ,\beta )}$ pour la loi pour les deux paramétrages. La notation est ambigüe, mais elle dépend du paramétrage choisi.

Moyenne et variance

La moyenne (espérance) d'une distribution gamma est le produit des paramètres de forme et d'échelle :

${\displaystyle \mu =k\theta =\alpha /\beta }$

La variance est donnée par :

${\displaystyle \sigma ^{2}=k\theta ^{2}=\alpha /\beta ^{2}}$

L'inverse de la racine carré du paramètre de forme donne le coefficient de variation :

${\displaystyle \sigma /\mu =1/{\sqrt {k}}=1/{\sqrt {\alpha }}}$.

Coefficient d'asymétrie

Le coefficient d'asymétrie d'une distribution gamma ne dépend que du paramètre de forme et vaut ${\displaystyle 2/{\sqrt {k}}.}$

Moments

Pour tout n entier, le n-ième moment vaut :

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\theta ^{n}{\frac {\Gamma (k+n)}{\Gamma (k)}}=\theta ^{n}\prod _{i=1}^{n}(k+i-1)}$.

Somme

Si chaque X_i suit la loi Γ(k_i, θ) pour i = 1, 2,...,  N, et si les variables aléatoires X_i sont indépendantes, alors :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{N}k_{i},\theta \right)}$.

Changement d'échelle

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi gamma de paramètres de forme k et d'échelle θ. Alors pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon une loi ${\displaystyle \Gamma (k,t\theta )}$ de paramètre de forme k et d'échelle tθ. Dit autrement pour le paramétrage (α, β), si X suit une loi gamma de paramètres de forme α et d'intensité β, alors tX est distribuée selon une loi de paramètre de forme ${\displaystyle \alpha }$ et d'intensité β/t, que l'on note également ${\displaystyle \Gamma (\alpha ,\beta /t)}$.

Contraintes sur les paramètres

• Si ${\displaystyle X\sim {\Gamma }(k=1,\theta =1/\lambda )\,}$, alors X a une distribution exponentielle de paramètre λ. En effet, pour ${\displaystyle k=1}$, l'expression de la densité ${\displaystyle f(x;k,\theta ={\frac {1}{\lambda }})={\frac {x^{k-1}\mathrm {e} ^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}={\frac {x^{k-1}\lambda ^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma (k)}}}$ devient ${\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$. Il s'agit bien de la densité de probabilité de la distribution exponentielle de paramètre λ.
• Si ${\displaystyle X\sim {\Gamma }(k=\nu /2,\theta =2)\,}$, alors X est identique à une variable qui suit χ²(ν), la loi du χ² avec ν degrés de liberté.
• Si k est un entier, la loi Gamma est une distribution d'Erlang.
• Si ${\displaystyle X^{2}\sim {\Gamma }(3/2,2a^{2})\,}$, alors X a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre a.

Autres manipulations

• Si X a une distribution Γ(k, θ), alors 1/X a une distribution loi gamma inverse, de paramètres k et θ⁻¹.
• Si X et Y sont distribuées indépendamment selon des lois Γ(α, θ) et Γ(β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) a une distribution beta de paramètres α et β.
• Si X_i sont distribuées selon des lois Γ(α_i, θ) respectivement, alors le vecteur (X₁ / S,  ...,  X_n / S), où S = X₁ + ... + X_n, suit une distribution de Dirichlet de paramètres α₁,  ...,  α_n.
• Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale, de moyenne ${\displaystyle \mu =(k-1)\theta }$ et de variance ${\displaystyle \sigma ^{2}=(k-1)\theta ^{2}}$. De plus, quels que soient k et θ, en fixant de cette manière les constantes ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \sigma }$, les densités de probabilité de la distribution Gamma Γ(k, θ) et de la loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ont alors deux points d'inflexion aux mêmes abscisses, à savoir ${\displaystyle \mu +\sigma =\theta (k-1)+\theta {\sqrt {k-1}}}$ et ${\displaystyle \mu -\sigma =\theta (k-1)-\theta {\sqrt {k-1}}}$.