La valeur d’un dé après un lancer est une variable aléatoire comprise entre 1 et 6.

En théorie des probabilités, une variable aléatoire est une variable dont la valeur est déterminée après la réalisation d’un phénomène, expérience ou événement, aléatoire.

En voici des exemples : la valeur d’un dé entre 1 et 6 ; le côté de la pièce dans un pile ou face ; le nombre de voitures en attente dans la 2^e file d’un télépéage autoroutier ; le jour de semaine de naissance de la prochaine personne que vous rencontrez ; le temps d’attente dans la queue du cinéma ; le poids de la part de tomme que le fromager coupe quand vous lui en demandez un quart ; etc. Les situations réalistes présentées ici ne sont pas nécessairement celles de la réalité, le point important étant qu’elles sont ici placées dans le cadre de la théorie des probabilités.

Mathématiquement, c’est une application définie sur l’ensemble des éventualités, c’est-à-dire l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant à une éventualité (résultat du lancer d’un ou plusieurs dés, d’un tirage à pile ou face, d’une roulette, etc.) un gain. Cette association éventualité-gain a donné lieu par la suite à la conception d’une fonction de portée plus générale. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure.

Introduction

Les valeurs possibles d'une variable aléatoire pourraient représenter les résultats possibles d'une expérience, dont la valeur déjà existante est incertaine. Ils peuvent aussi représenter conceptuellement soit les résultats d'un processus aléatoire « objectif » (comme lancer un dé) ou le caractère aléatoire « subjectif » qui résulte de la connaissance incomplète d'une quantité (comme la température qu'il fera dans 5 jours). La signification des probabilités attribuées aux valeurs possibles d'une variable aléatoire ne fait pas partie de la théorie des probabilités, mais est plutôt liée à des arguments philosophiques sur l'interprétation de la probabilité. Les mathématiques fonctionnent de la même manière quelle que soit l'interprétation.

La fonction mathématique décrivant les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leur probabilité est connue sous le nom de loi de probabilité ou de distribution de probabilité. Les variables aléatoires peuvent être de trois natures : discrètes, continues ou un mélange des deux. Elles sont discrètes quand elles peuvent prendre toutes les valeurs d'une liste finie ou dénombrable de valeurs spécifiées, et elles sont alors dotées d'une fonction de masse, caractéristique d'une distribution de probabilités. Elles sont continues quand elles peuvent prendre une valeur numérique quelconque d'un intervalle ou d'une famille d'intervalles, par l'intermédiaire d'une fonction de densité de probabilité caractéristique de la distribution de probabilités. Les réalisations d'une variable aléatoire, c'est-à-dire, les résultats des valeurs choisies au hasard en fonction de la loi de probabilité de la variable, sont appelées des variations aléatoires.

Définitions

Une variable aléatoire est une fonction mesurable d'un espace inconnu (l'univers Ω ) vers un espace d'état E, connu. À chaque élément mesurable B de E, on associe son image réciproque dans Ω. La mesure ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ (loi de probabilité de X) sur E se déduit donc de la mesure ${\displaystyle \mathbb {P} }$ sur Ω.

Cette condition de mesurabilité de X assure que l'image réciproque par X de tout élément B de la tribu ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$, une mesure de probabilité, notée ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$, par

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} \left(X^{-1}(B)\right)=\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega :x=X(\omega )\in B\right\}).}$

La mesure ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ est l'image, par l'application X, de la probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} }$ définie sur ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$.

Dans la suite, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$ désigne la tribu borélienne de l'espace topologique E.

Moments

La distribution de probabilité d'une variable aléatoire est souvent caractérisée par un nombre réduit de paramètres, qui ont également une interprétation pratique. Par exemple, il est souvent suffisant de savoir quelle est la valeur moyenne. Ceci est possible grâce au concept mathématique de la valeur attendue d'une variable aléatoire, noté ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ et aussi appelé le premier moment. En général, ${\displaystyle \mathbb {E} [f(X)]}$ n'est pas égal à ${\displaystyle f(\mathbb {E} [X])}$. Une fois que la valeur moyenne est connue, on pourrait alors se demander à quelle distance de cette valeur moyenne sont en général les valeurs de E, question à laquelle répondent les notions de variance et d'écart-type d'une variable aléatoire. ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ peut être considérée comme une moyenne obtenue à partir d'une population infinie, dont les membres sont des évaluations particulières de E.

Mathématiquement, cela est connu sous le nom du problème des moments : pour une classe donnée de variables aléatoires E, trouver une collection {f_i} de fonctions telles que l'attente des valeurs ${\displaystyle \mathbb {E} [f_{i}(X)]}$ caractérise la répartition de la variable aléatoire E.

Les moments ne peuvent pas être définis pour des fonctions à valeurs réelles de variables aléatoires (ou de valeur complexe, etc.). Si la variable aléatoire est une valeur réelle, alors les moments de la variable elle-même peuvent être pris, ce qui est équivalent aux moments de la fonction f(X)=X de la variable aléatoire. Cependant, même pour des variables aléatoires aux valeurs non-réelles, des moments peuvent être pris aux fonctions réelles de ces variables. Par exemple, pour une variable aléatoire catégorielle E qui peut prendre des valeurs nominales « rouge », « bleu » ou « vert », la fonction de valeur réelle [X = vert] peut être construite; ce processus utilise le crochet de Iverson, et possède la valeur 1 si E a la valeur « verte », il possédera la valeur 0 dans un cas différent. Ainsi, la valeur attendue et d'autres moments de cette fonction peuvent être déterminés.

Exemples

Une variable aléatoire est souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle : ${\displaystyle X\colon \omega \mapsto X(\omega )\in \mathbb {R} }$.

La variable aléatoire peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, et on parle alors de vecteur aléatoire :

${\displaystyle X\colon \omega \mapsto X(\omega )\in \mathbb {R} ^{n}}$ ou ${\displaystyle X\colon \omega \mapsto X(\omega )\in \mathbb {C} ^{n}}$.

La variable aléatoire peut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (par exemple une fonction de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{d})}$), et on parlera alors de processus stochastique.

Plus rigoureusement :

• Lorsque ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}):=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, on dit que ${\displaystyle X}$ est une variable aléatoire réelle.
• Lorsque, pour un entier d ≥ 1, ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}):=(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d}))}$, on dit que ${\displaystyle X}$ est un vecteur aléatoire.
• Lorsqu'il existe un ensemble fini ou dénombrable S ⊂ E tel que ${\displaystyle \mathbb {P} (X\in S)=1}$, on dit que ${\displaystyle X}$ est une variable discrète. Par exemple, le choix ${\displaystyle (S,E):=(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}$ permet de voir les variables aléatoires suivant la loi de Poisson ou la loi binomiale comme des variables aléatoires réelles.
• Le mouvement brownien ${\displaystyle B:=(B(t))_{t\geqslant 0}}$, qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoire B à valeurs dans l'espace ${\displaystyle E:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{3})}$ des fonctions continues de ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et de la tribu borélienne correspondante. Pour chaque t ≥ 0, B(t), qui représente la position de la particule à l'instant t, est une variable aléatoire réelle dont la loi est gaussienne. Ainsi, B peut aussi être vu comme une famille de variables aléatoires réelles.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « random variable » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Vecteur aléatoire
• Indépendance de variables aléatoires
• Suite aléatoire
• Nombre pseudo-aléatoire