Loi géométrique
Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle p\in \,]0,1[}$ ${\displaystyle q=1-p}$
Support	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$
Fonction de masse	${\displaystyle q^{k-1}\,p\!}$
Fonction de répartition	${\displaystyle 1-q^{k}\!}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {1}{p}}\!}$
Médiane	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-\log(2)}{\log(q)}}\right\rceil \!}$ (pas unique si ${\displaystyle -\log(2)/\log(q)}$ est entier)
Mode	1
Variance	${\displaystyle {\frac {q}{p^{2}}}\!}$
Asymétrie	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {q}}}\!}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{q}}\!}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {-q\log _{2}q-p\log _{2}p}{p}}\!}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle {\frac {p{\rm {e}}^{t}}{1-q\,{\rm {e}}^{t}}}\!}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle {\frac {p{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}{1-q\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}}\!}$
Fonction génératrice des probabilités	${\displaystyle {\frac {pt}{1-qt}}}$

En théorie des probabilités et en statistique, la loi géométrique désigne, selon la convention choisie, l'une des deux lois de probabilité suivantes :

• la loi du nombre X d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p ∈ ]0,1[ (ou q = 1 – p d'échec) nécessaire pour obtenir le premier succès. X est la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Le support de la loi est alors {1, 2, 3, ...}.
• La loi du nombre Y = X – 1 d'échecs avant le premier succès. Le support de la loi est alors {0, 1, 2, 3, ...}.

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Ces deux lois sont différentes. C'est pourquoi il faut préciser la convention choisie en indiquant le support. Dans la suite, sauf mention contraire, on suppose que les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ...

Définition

Date de mort, durée de vie

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :

${\displaystyle p(k)=\mathbb {P} (\mathrm {V} =k)=q^{k-1}\ \mathrm {pour} \ k\in \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (\mathrm {V} >k)=q^{k}=\mathrm {e} ^{k\ln(q)}}$

Pour p petit, ln(1 – p) est voisin de – p donc

${\displaystyle \mathbb {P} (\mathrm {V} >k)\approx \mathrm {e} ^{-pk}}$

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.

Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi géométrique de paramètre p est ¹⁄_p, et sa variance est q/p² où q = 1 – p est la probabilité d'échec :

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {1}{p}},\qquad \mathbb {V} [X]={\frac {1-p}{p^{2}}}={\frac {q}{p^{2}}}.}$

L'écart type est donc √q/p.

Démonstration

Calculs préliminaires : pour tout x de [0, 1[,

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{+\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\\f^{\prime }(x)&=\sum _{k=1}^{+\infty }kx^{k-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\\f^{\prime \prime }(x)&=\sum _{k=2}^{+\infty }k(k-1)x^{k-2}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}.\end{aligned}}}$

En particulier :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{+\infty }k^{2}x^{k-1}&=x\sum _{k=2}^{+\infty }k(k-1)x^{k-2}+\sum _{k=1}^{+\infty }kx^{k-1}\\&={\frac {2x}{(1-x)^{3}}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}\\&={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {1}{(1-x)^{2}}}.\end{aligned}}}$

On peut alors utiliser ces identités pour le calcul de l'espérance :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} (X)&=\sum _{k=1}^{+\infty }kq^{k-1}p\\&={\frac {p}{(1-q)^{2}}}\\&={\frac {1}{p}},\end{aligned}}}$

car q = 1 – p, et pour celui de la variance :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Var} (X)&=\left(\sum _{k=1}^{+\infty }k^{2}q^{k-1}p\right)-\mathbb {E} [\mathrm {X} ]^{2}\\&={\frac {2p}{(1-q)^{3}}}-{\frac {p}{(1-q)^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}\\&={\frac {2}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}\\&={\frac {q}{p^{2}}},\end{aligned}}}$

la première égalité ci-dessus provenant du théorème de König-Huygens.

Par exemple, pour ${\displaystyle p=1/2}$, ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=2,\mathbb {V} [X]=2,\sigma [X]={\sqrt {2}}}$ et l'écart moyen ${\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-2|)=\sum _{k=1}^{+\infty }{|k-2|/2^{k}}=1}$.

Liens avec d'autres lois

Lien avec la loi exponentielle

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si X suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si ${\displaystyle Y=\lceil \theta X\rceil ,\ \theta >0,}$ alors Y suit la loi géométrique de paramètre

${\displaystyle p\ =\ 1-\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}.}$

Démonstration

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (Y=k)&=\mathbb {P} (\lceil \theta X\rceil =k)\\&=\mathbb {P} (\theta X\in ]k-1,k])\\&=\mathbb {P} \left(X\in \left]{\tfrac {k-1}{\theta }},{\tfrac {k}{\theta }}\right]\right)\\&=F_{X}\left({\tfrac {k}{\theta }}\right)-F_{X}\left({\tfrac {k-1}{\theta }}\right)\\&=\exp \left(-\ {\tfrac {k-1}{\theta }}\right)-\exp \left(-\ {\tfrac {k}{\theta }}\right)\\&=\left(\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}\right)^{k-1}\ \left(1-\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}\right).\end{aligned}}}$

Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10.

Notons que, pour un nombre réel x, ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ désigne la partie entière supérieure de x, définie par

${\displaystyle \lceil x\rceil \ =\ \min \left\{k\in \mathbb {Z} \ |\ k\geqslant x\right\}.}$

Conséquence :

Ainsi, pour obtenir une variable aléatoire Y' suivant une loi géométrique de paramètre p arbitraire (avec toutefois la contrainte 0 < p < 1), à partir d'une variable aléatoire exponentielle X' de paramètre λ, il suffit de poser

${\displaystyle Y^{\prime }=\lceil \theta X^{\prime }\rceil ,}$

où l'on a choisi

${\displaystyle \theta \ =\ -{\tfrac {\lambda }{\ln \left(1-p\right)}}.}$

En effet, ${\displaystyle X=\lambda \,X^{\prime }}$ suit une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour ${\displaystyle n\geq 1,}$ la variable aléatoire Y_n suit la loi géométrique de paramètre p_n, et si, simultanément,

${\displaystyle \lim _{n}p_{n}\ =\ 0\qquad {\text{et}}\qquad \lim _{n}p_{n}/a_{n}\ =\ \lambda >0,}$

alors a_nY_n converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ.

Démonstration

On se donne une variable aléatoire exponentielle X de paramètre 1, et on pose

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}&=-{\tfrac {1}{\ln \left(1-p_{n}\right)}},\\\mathrm {Y} _{n}^{\prime }&=\lceil \theta _{n}\mathrm {X} \rceil .\end{aligned}}}$

Alors Y_n et ${\displaystyle Y_{n}^{\prime }}$ ont même loi, en vertu de la propriété précédente. Par ailleurs, pour tout ω

${\displaystyle \lim _{n}a_{n}Y_{n}^{\prime }(\omega )\ =\ \lim _{n}a_{n}\lceil \theta _{n}X(\omega )\rceil =\ \left(\lim _{n}a_{n}\theta _{n}\right)\ X(\omega )\ =\ X(\omega )/\lambda .}$

Or d'une part la convergence presque sûre entraine la convergence en loi, d'autre part la loi de X/λ est la loi exponentielle de paramètre λ.

Voir aussi

• Variables aléatoires élémentaires
• Radioactivité
• Méthode de rejet
• Processus de Bernoulli
• Loi exponentielle
• Loi binomiale négative
• Problème du collectionneur de vignettes (un exemple faisant apparaître une loi géométrique)

Notes et références