Généralités

Une population est un ensemble d'individus (pièce mécanique, échantillon de sable, boîtes…) sur lequel on suivra un ou plusieurs caractères (couleur, température, dimension, concentration, pH, etc.). Ce caractère peut être qualitatif (aspect, bon ou défectueux) ou quantitatif (taille, poids, nombre de défauts). Dans ce dernier cas, les valeurs prises par le caractère constitueront une distribution discontinue ou continue. En pratique, les observations seront effectuées sur une partie de la population (échantillon statistique) prélevée au hasard.

Distribution binomiale

La loi binomiale est utilisée lors d'un tirage non exhaustif^[1] (avec remise). Elle peut être utilisée lorsque le rapport de la taille de l'échantillon (n) sur celle du lot (N) est telle que n / N ${\displaystyle \leq }$ 0,1. C'est le cas où les pièces prélevées pour l'échantillon ne sont pas remises dans le lot.

La probabilité pour qu'il y ait k pièces défectueuses dans n tirages non exhaustifs (indépendants) est :

${\displaystyle P(X=k)=\mathrm {C} _{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ avec ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{k}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

et où p est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.

Exemple : Il s'agit d'évaluer les probabilités (P) d'observer X = 0,1,2,3,4,5 pièces défectueuses dans un échantillon de taille n =5 avec p =0,10 et q =0,90. La pièce est classée défectueuse si le diamètre est trop petit ou trop grand. La machine-outil fournit 10 % de pièces défectueuses dans un échantillon de taille 5.

Cette loi est utilisée très souvent dans le contrôle de réception par attributs ou lors du contrôle de réception d'un lot. La variable binomiale suit une distribution discrète ne pouvant prendre que les valeurs entières 0,1,2, etc., n.

Distribution hypergéométrique

Lorsqu'un contrôle implique la destruction complète des pièces ou éléments à contrôler, il est impossible d'effectuer un tirage exhaustif (sans remise). La loi hypergéométrique est utilisée à la place de la loi binomiale et sa représentation graphique est proche de cette dernière. La loi hypergéométrique a pour expression : ${\displaystyle p(k)={\frac {C_{Np}^{k}C_{Nq}^{n-k}}{C_{N}^{n}}}}$
(q = 1 -p)
N: taille du lot.
n: taille de l'échantillon (n < N).
p: % de défectueux dans le lot initial.
C: nombre total de défectueux dans le lot.
k : nombre de produits défectueux possibles dans l'échantillon de taille n.

Distribution de Poisson

Lorsque n est grand et p faible, la loi de Poisson constitue une approximation de la loi binomiale. La probabilité d'avoir k pièces défectueuses dans un échantillon n donné est :

${\displaystyle p(k)=P(X=k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}{\quad avec\quad }(\lambda =np)}$

Une application courante de la loi de Poisson est la prédiction du nombre d'événements susceptibles de se produire sur une période de temps déterminée, par exemple, le nombre de voitures qui se présentent à un poste de péage en l'espace d'une minute. La loi de Poisson est une approximation de la loi binomiale si n > 40 et p < 0,1.

Distribution normale

L'analyse des variables intervenant dans la production d'une machine (diamètre des pièces produites, poids, etc.) montre que si le réglage est constant, la répartition suit une courbe 'en cloche' dont les deux caractéristiques importantes sont la moyenne et la dispersion. La loi normale est très utilisée en contrôle statistique, surtout sous sa forme centrée réduite. wikisource : Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Dans la pratique MSP, une notion comme l'intervalle de confiance, est basée sur les probabilités de la loi normale. Par exemple, 68,3 % de la surface sous la courbe d'une distribution normale signifie que 2/3 des observations se trouveront dans l'intervalle : [${\displaystyle \mu -\sigma$ ;-\mu +\sigma } ]. De même on estime à 95,4 % la probabilité pour qu'une observation (dispersion = 4 fois l'écart type) se trouve dans l'intervalle: [${\displaystyle \mu -2\sigma$ ;-\mu +2\sigma } ]. L'intervalle [${\displaystyle \mu -3\sigma$ ;-\mu +3\sigma } ], contient 99,7 % des données. La loi normale est définie par ses deux premiers moments (m et ${\displaystyle \sigma }$). Son coefficient d'asymétrie est nul et son coefficient d'aplatissement égal à 3.

Ce qu'il faut retenir pour le contrôle de qualité est que la distribution normale est symétrique autour de la moyenne [${\displaystyle \mu }$], qui est aussi la médiane et s'étale d'autant plus autour de [${\displaystyle \mu }$] que l'écart type [${\displaystyle \sigma }$] est plus grand. Le réglage de la machine est positionné sur la moyenne des pièces ${\displaystyle \scriptscriptstyle {\overline {X}}}$. Si la production est stabilisée, la répartition des caractéristiques d'une pièce sur une machine, suit une loi normale en raison du théorème central limite : tout système, soumis à de nombreux facteurs indépendants suit la loi de Gauss et dans ce cas, moyenne, médiane et mode sont égaux. Si n est le nombre de valeurs, l'écart type de la population est :

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$.

Distribution de Student

Cette distribution, encore appelée loi de Student ou loi t est basée sur la différence entre l'écart type de la population (σ) et celui de l'échantillon (s). Cette différence est d'autant plus grande que l'échantillon est petit si bien que la distribution n'est plus normale lorsqu'on utilise l'écart type de l'échantillon (s) au lieu de l'écart type de la population (σ) .

Le rapport :

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}}$

suit une distribution de Student. Le paramètre (degré de liberté) représente la précision de l'écart type et détermine la forme de la courbe qui est symétrique, comme la distribution normale. Lorsque le nombre de degrés de libertés augmente, s devient une estimation plus précise de σ.

Distribution du khi-deux

On utilise cette distribution pour comparer deux proportions. En contrôle de réception, ce test, basé sur les probabilités, sert à mettre en évidence si le pourcentage de défectueux entre deux fournisseurs a ou non une signification statistique ou si elle est due au hasard. Comme la distribution de Student, le paramètre 'degré de liberté' donne une distribution de forme différente.

Distribution de Fisher

La distribution de Fisher (F) ou test de Fisher est utilisée en régression et analyse de la variance. F utilise 2 degrés de liberté, un au numérateur (m), l'autre au dénominateur (n). On la note F(m,n)

Distribution de Weibull

La loi de Weibull généralise la loi exponentielle. Elle modélise des durées de vie.

Intervalle de confiance sur la moyenne

Intervalle de confiance sur la variance

Droite de Henry

Sur un simple examen de l'histogramme, il n'est pas évident de se prononcer sur la 'normalité' des variables. Il est pratique de comparer le graphique obtenu avec les données théoriques correspondantes basées sur une loi théorique standardisée et de représenter ces données sur une droite à l'aide d'un changement d'échelle. La droite de Henry permet de réaliser cette transformation. On constate que la distribution de l'exemple 1 est quasi-normale.

La droite de Henry coupe l'axe des x au point d'abscisse m et sa pente est égale à 1/${\displaystyle \sigma }$, ce qui permet une estimation de l'écart-type de la distribution.

Moyenne de moyennes de données

Si l'on suppose que la population dont on a extrait l'échantillon est normale et a pour paramètres théoriques X = 133 mm (moyenne) et ${\displaystyle \sigma }$ = 5 mm, alors on peut tracer l'histogramme de loi normale centrée réduite correspondante sur une simulation de 1000 pièces tirées au hasard. La moyenne théorique est de 133 mm, l'écart type de 5 mm et l'étendue de 34 mm. Puisque notre échantillon de 32 données suit approximativement une loi normale, on peut se poser la question de savoir si la moyenne théorique de la population serait plus précise si on multipliait le nombre des séries d'observations. Simulons par exemple neuf prélèvements successifs de 1000 pièces de moyenne théorique 133 mm et d'écart type 5 mm. La moyenne théorique obtenue est de 120 mm, l'écart type de 4,8 mm et l'étendue de 32 mm. La distribution de la 'moyenne des moyennes' semble normale. L'histogramme est centré sur la moyenne théorique (120), mais la distribution de la moyenne est plus resserrée que dans l'histogramme ci-dessus. La moyenne de l'échantillon donne donc une moyenne plus précise de la moyenne théorique qu'une seule série d'observations X. Soit ${\displaystyle M_{m}}$, la moyenne des moyennes.

On démontre que pour n séries d'observations :

1. Moyenne ${\displaystyle M_{m}}$ = moyenne (X )d'une série d'observations.
2. Écart type de ${\displaystyle M_{m}}$ =${\displaystyle \sigma _{X}/{\sqrt {n}}}$.
3. Variance de ${\displaystyle M_{m}}$ = variance (X) / n.

Théorème central limite

En contrôle qualité, la plupart des distributions de données d'échantillons suivent une loi normale. Si toutefois les données ne semblent pas « normales », le théorème central limite permet d'affirmer que la moyenne d'une variable indépendante distribuée de façon quelconque devient une variable normale quand le nombre d'observations est assez grand.

La moyenne arithmétique ${\displaystyle {\overline {x_{n}}}}$ de n valeurs suivant une même loi de probabilité tend vers son espérance mathématique E(X). Plus n est grand, plus la loi se rapproche d'une distribution normale. Son écart type est :${\displaystyle {\tfrac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}}$

Donc, si n est > 5, par exemple, la distribution des moyennes ${\displaystyle {\overline {x_{n}}}}$ des différents échantillons successifs tirés de cette même population tendra vers une loi normale de même moyenne m et d'écart-type ${\displaystyle {\tfrac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}}$, même si la variable aléatoire x ne suit pas une loi normale. Cette propriété est utilisée dans les cartes de contrôle aux mesures.

Test du khi-deux

Analyse de la variance

Ajustements

Analyse des causes de non-conformité