Kurtosis non normalisé (coefficient d’aplatissement)

Étant donné une variable aléatoire réelle ${\displaystyle X}$ d’espérance ${\displaystyle \mu }$ et d’écart type ${\displaystyle \sigma }$, on définit son kurtosis non normalisé comme le moment d’ordre quatre de la variable centrée réduite :

${\displaystyle \beta _{2}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]}$

lorsque cette espérance existe. On a donc :

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{\ 4}}}}$

avec ${\displaystyle \mu _{i}}$ les moments centrés d’ordre ${\displaystyle i}$.

Kurtosis normalisé (excès d’aplatissement)

Le kurtosis non normalisé étant défini en fonction de moments centrés, il est malaisé à manipuler lorsqu’il s’agit de calculer celui de la somme de variables indépendantes.

On définit ainsi le kurtosis normalisé en fonction de cumulants :

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\kappa _{4}}{\kappa _{2}^{\ 2}}}}$

Sachant que ${\displaystyle \mu _{2}=\kappa _{2}}$ et ${\displaystyle \mu _{4}=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{\ 2}}$, on a alors^[2]:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}-3\mu _{2}^{\ 2}}{\mu _{2}^{\ 2}}}=\beta _{2}-3}$

Dimension

Les moments centrés ${\displaystyle \mu _{i}}$ et cumulants ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ayant pour dimension celle de la variable ${\displaystyle X}$ élevée à la puissance ${\displaystyle i}$, les kurtosis ${\displaystyle \beta _{2}}$ et ${\displaystyle \gamma _{2}}$ sont des grandeurs adimensionnelles.

Plage de valeur

Soit la variable aléatoire réelle ${\displaystyle Y=\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$. Cette variable aléatoire a pour espérance ${\displaystyle \mathbb {E} (Y)={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}=1}$ et pour variance ${\displaystyle \operatorname {V} (Y)=\mathbb {E} \left(Y^{2}\right)-\mathbb {E} (Y)^{2}=\beta _{2}-1=\gamma _{2}+2}$. Sachant que ${\displaystyle \operatorname {V} (Y)\geq 0}$, on en déduit alors que :

• ${\displaystyle \beta _{2}\geq 1}$
• ${\displaystyle \gamma _{2}\geq -2}$

Cette limite inférieure n’est atteinte que dans le cas où (à transformation affine près) la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre ${\displaystyle p=1/2}$ (un seul tirage à pile ou face avec une pièce parfaitement équilibrée). Pour la loi normale, on a ${\displaystyle \gamma _{2}=0}$.

Le kurtosis n’a pas de limite supérieure.

Somme de réalisations indépendantes

Soient ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire réelle et ${\displaystyle Y=\sum _{1}^{n}X}$ la somme de ${\displaystyle n}$ réalisations indépendantes de ${\displaystyle X}$ (exemple : la loi binomiale de paramètres ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle p}$, somme de ${\displaystyle n}$ réalisations indépendantes de la loi de Bernoulli de paramètre ${\displaystyle p}$). Grâce à la propriété d’additivité des cumulants, on sait que ${\displaystyle \kappa _{i}(Y)=n\kappa _{i}(X)}$, donc :

${\displaystyle \gamma _{2}(Y)={\frac {n\kappa _{4}(X)}{(n\kappa _{2}(X))^{2}}}={\frac {\gamma _{2}(X)}{n}}}$

Typologie

Un coefficient d’aplatissement élevé indique que la distribution est plutôt pointue en sa moyenne, et a des queues de distribution épaisses (fat tails en anglais, fat tail au singulier). Cela se déduit en considérant la distribution ${\displaystyle Y}$ définie plus haut, dont l’espérance vaut 1 et dont le moment centré d’ordre deux est le kurtosis non normalisé de ${\displaystyle X}$. Comme son espérance est fixée, son moment d’ordre deux ne peut évoluer que par compensation : pour l’augmenter, il faut de l’inertie en position éloignée, contrebalancée par de l’inertie proche. En d’autres termes, on « pince » les flancs et les probabilités se déplacent par conséquent vers le centre et les extrémités.

Le terme d'« excès d’aplatissement », dérivé de kurtosis excess en anglais, utilisé pour le kurtosis normalisé peut être source d’ambiguïté. En effet, un excès d’aplatissement positif correspond à une distribution pointue et un excès d’aplatissement négatif à une distribution aplatie (on s’attendrait à l’inverse).

Notes et références

Articles connexes

• Espérance mathématique
• Variance
• Écart type
• Coefficient d’asymétrie
• Approximation de Cornish-Fisher