Premiers exemples

Définition intuitive

Une loi de Bernoulli décrit le comportement d'une expérience aléatoire qui possède deux résultats possibles traditionnellement appelés succès et échec^[1]. Une telle expérience s'appelle une épreuve de Bernoulli. Par exemple, lors d'un lancer de pile ou face, on peut considérer qu'obtenir face est un succès et obtenir pile est un échec. Dans ce modèle, la probabilité de succès est une valeur fixe, c'est-à-dire qui reste constante à chaque renouvellement de l'expérience aléatoire. Cette probabilité de succès est notée p.

On considère la situation où une telle expérience aléatoire (deux résultats possibles et une probabilité fixe) est répétée un certain nombre de fois de manière indépendante ; notons n ce nombre de fois. Cette répétition indépendante d'épreuves de Bernoulli s'appelle un schéma de Bernoulli ou simplement des épreuves de Bernoulli^[2]. Une loi binomiale décrit le nombre de fois où le succès apparaît sur les n expériences effectuées. Le nombre de succès obtenus étant une valeur aléatoire, une loi binomiale est décrite grâce à la donnée des probabilités que le succès apparaisse précisément k fois sur les n essais.

Arbre de probabilité

Arbre de probabilité pour une loi binomiale associée à 3 épreuves de Bernoulli.

Une manière visuelle de représenter une suite d'expériences est d'utiliser un arbre de probabilité. Chaque épreuve est représentée par deux branches : l'une pour le succès, l'autre l'échec. À chaque extrémité, on rajoute deux branches (succès et échec) pour l'épreuve suivante. On recommence jusqu'au nombre total d'épreuves. À chaque extrémité finale, on peut compter le nombre de succès obtenus. Il suffit de multiplier le nombre de fois où il y a k succès par la probabilité d'obtenir k succès pour obtenir la probabilité correspondante de la loi binomiale.

Par exemple, on lance 3 fois de suite un dé équilibré à six faces et on s'intéresse au nombre de fois que le 1 apparaît. Il apparaît 0, 1, 2 ou 3 fois. Chaque lancer est indépendant des autres et la probabilité d'obtenir le 1 est de 1/6 sur chacun d'entre eux, autrement dit la probabilité qu'il n'apparaisse pas est de 5/6 à chaque lancer. Ainsi, pour chaque lancer, on considère une loi de Bernoulli de paramètre 1/6. Il y a trois configurations pour obtenir une seule fois le 1 : il apparaît au premier lancer ou au deuxième ou au troisième. Chacune de ces issues a la même probabilité d'apparaître : ${\displaystyle {\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {5}{6}}}$. La probabilité pour avoir une fois le 1 est alors : ${\displaystyle 3\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {5}{6}}}$. On retrouve bien ${\displaystyle \mathbb {P} (X=1)={3 \choose 1}\left(1/6\right)^{1}\left(5/6\right)^{3-1}}$ pour une loi binomiale b(3, 1/6). Il est possible de retrouver les autres probabilités de la même façon.

Moments

Les plus connus sont l'espérance et la variance, que l'on déduit classiquement^{[a 2]} de la définition 2 ci-dessus :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=np\quad {\text{et}}\quad \operatorname {Var} (X)=npq}$.

Les moments factoriels de la loi binomiale de paramètres n et p sont^{[a 3],[a 4]} :

${\displaystyle \mathbb {E} \left((X)_{k}\right)=\mathbb {E} \left(X(X-1)...(X-k+1)\right)={\frac {n!}{(n-k)!}}~p^{k}}$.

Par conséquent^[19], ses moments ordinaires sont^[20] :

${\displaystyle \mu '_{r}=\mathbb {E} (X^{r})=\sum _{k=0}^{r}{\frac {n!}{(n-k)!}}}$ S(r, k) p^k, avec comme premières valeurs^[21] :

${\displaystyle \mu '_{1}=\mathbb {E} (X)=}$	${\displaystyle np}$ (espérance)
${\displaystyle \mu '_{2}=\mathbb {E} (X^{2})=}$	${\displaystyle np+n(n-1)p^{2}}$
${\displaystyle \mu '_{3}=\mathbb {E} (X^{3})=}$	${\displaystyle np+3n(n-1)p^{2}+n(n-1)(n-2)p^{3}}$

On peut aussi les obtenir par la formule de récurrence

${\displaystyle \mu '_{r+1}=pq\left({\frac {n}{q}}\mu '_{r}+{\frac {{\rm {d}}\mu '_{r}}{{\rm {d}}p}}\right)}$,

où le terme ${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}p}}}$ désigne la dérivée par rapport à la variable p.

Les moments inverses, c'est-à-dire ${\displaystyle \mathbb {E} (X^{-r})}$ avec ${\displaystyle r\in \mathbb {N} ^{*}}$, sont infinis^[22].

Moments centrés

Les moments centrés sont les moments de la différence entre la variable et sa moyenne^[23],[21].

${\displaystyle \mu _{2}=Var(X)=\mathbb {E} \left((X-np)^{2}\right)=}$	${\displaystyle npq\;}$  ; (variance)
${\displaystyle \mu _{3}=\mathbb {E} \left((X-np)^{3}\right)=}$	${\displaystyle np(1-p)(1-2p)=npq(q-p)}$
${\displaystyle \mu _{r}=\mathbb {E} ((X-np)^{r})=}$	${\displaystyle npq\sum _{k=0}^{r-2}{r-1 \choose k}\mu _{k}-p\sum _{k=0}^{r-2}{r-1 \choose k}\mu _{k+1}}$

L'expression de la variance donne l'écart type^[24] : ${\displaystyle \sigma {(X)}={\sqrt {npq}}}$.

Les moments centrés se calculent aussi par cette autre relation de récurrence^{[a 5],[21]} :

${\displaystyle \mu _{r+1}=pq\left(nr\mu _{r-1}+{\frac {{\rm {d}}\mu _{r}}{{\rm {d}}p}}\right)}$.

Écart moyen

L'Écart moyen (ou déviation moyenne) est la moyenne des écarts à la moyenne ; il est donné par^[22] :

${\displaystyle \mathbb {E} (|X-np|)=2n{n-1 \choose \lfloor np\rfloor }p^{\lfloor np\rfloor +1}q^{n-\lfloor np\rfloor }}$,

où ${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$ est la partie entière de np.

Par exemple, si ${\displaystyle X\sim B(2n,1/2)}$, ${\displaystyle \mathbb {E} (|X-n|)=n{\frac {2n \choose n}{2^{2n}}}\sim {\sqrt {n \over \pi }}}$, valeur à comparer avec l'écart-type : ${\displaystyle {\sqrt {\mathbb {E} ((X-n)^{2})}}={\sqrt {n \over 2}}}$.

Fréquence de succès

Grâce aux formules précédentes, on obtient les moments de la fréquence des succès^[24] : ${\displaystyle {\frac {X}{n}}}$ :

moment d'ordre 1 (ou espérance) de la fréquence de succès	${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {X}{n}}\right]=}$	${\displaystyle p}$
moment centré d'ordre 2 (ou variance) de la fréquence de succès	${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left({\frac {X}{n}}-p\right)^{2}\right]=}$	${\displaystyle {\frac {p(1-p)}{n}}={\frac {pq}{n}}}$
moment centré d'ordre 4 de la fréquence de succès	${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left({\frac {X}{n}}-p\right)^{4}\right]=}$	${\displaystyle {\frac {pq(1-6pq)}{n^{3}}}+3{\frac {p^{2}q^{2}}{n^{2}}}}$

L'expression de la variance de la fréquence donne l'écart type de la fréquence des succès : ${\displaystyle \sigma _{X/n}={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}={\frac {\sqrt {pq}}{\sqrt {n}}}}$.

Covariance

On considère deux variables aléatoires ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$, pas forcément indépendantes, de lois binomiales respectives ${\displaystyle b(n,p_{1})}$ et ${\displaystyle b(n,p_{2})}$. La covariance permet d'évaluer la dépendance entre les deux variables :

${\displaystyle \mathrm {Cov} (X_{1},X_{2})=n\mathbb {P} (X_{1}=1{\text{ et }}X_{2}=1)-np_{1}p_{2}}$.

Propriétés et caractérisations

Valeurs descriptives de la loi

• Le coefficient d'asymétrie d'une loi binomiale b(n, p) est^[25] : ${\displaystyle \gamma ={\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}}$. L'asymétrie de la loi binomiale b(n, p) est positive^[26] si p < 1/2 et négative si p > 1/2. La loi est symétrique si et seulement si p = 1/2.
• La médiane de la loi binomiale est ${\displaystyle m=\lfloor np\rfloor }$ ou ${\displaystyle m=\lfloor np\rfloor +1}$, le signe ${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$ désigne la partie entière. Ces valeurs s'obtiennent grâce à la formule^{[a 6]} : ${\displaystyle |m-np|<\ln(2)}$ (cette borne étant optimale).
• Le mode de la loi binomiale b(n, p) est la valeur ${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$, elle est la valeur de plus grande probabilité.

Si np est un entier, alors le mode, la moyenne et la médiane valent tous trois np.

Propriétés de stabilité

• Si X suit une loi binomiale b(n, p), alors^[5] Y = n – X suit une loi b(n, 1 – p). Cette symétrie donne les relations suivantes pour la fonction de répartition et pour la fonction de masse^[27],[28] : ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq k)=\mathbb {P} (Y\geq n-k)}$ et ${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)=\mathbb {P} (Y=n-k)}$.
• Si les variables aléatoires indépendantes ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$ sont de lois binomiales respectives ${\displaystyle b(n_{1},p)}$ et ${\displaystyle b(n_{2},p)}$, alors la variable aléatoire ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ est de loi binomiale ${\displaystyle b(n_{1}+n_{2},p)}$. Cette propriété peut s'obtenir grâce à l'expression des fonctions caractéristiques ou grâce à l'écriture sous forme de somme de variables de Bernoulli^[29].

Inégalités

• L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale b(n, p) est obtenue grâce aux moments^[24] :

  ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|{\frac {X}{n}}-p\right|>x\right)\leq {\frac {p(1-p)}{nx^{2}}}}$.

• L'inégalité de Hoeffding pour une variable aléatoire X de loi b(n, p) est plus précise que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev lorsque x est grand, elle s'écrit^[30] :

  ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|{\frac {X}{n}}-p\right|>x\right)\leq 2\mathrm {e} ^{-2nx^{2}}}$.

• L'inégalité de Kolmogorov s'écrit pour une somme de variables aléatoires indépendantes. Pour des variables aléatoires indépendantes ${\displaystyle X_{1},X_{2}\dots ,X_{n}}$ de loi de Bernoulli, la somme ${\displaystyle Y_{k}=\sum _{i=1}^{k}X_{i}-kn}$ suit une loi binomiale b(k, p) recentrée, l'inegalité s'écrit alors^[31] :

  ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup \left(\left|Y_{k}\right|\,;\,k=1,\dots ,n\right)>\varepsilon \right)\leq {\frac {np(1-p)}{\varepsilon ^{2}}}}$.

Caractérisations

• En 1964, un cas particulier d'un théorème de Patil et Seshadri énonce^[32] : si la loi conditionnelle de X + Y sachant X est une loi hypergéométrique de paramètres m et n, alors X et Y suivent des lois binomiales de paramètres respectifs ${\displaystyle (m,\theta )}$ et ${\displaystyle (n,\theta )}$ où ${\displaystyle \theta }$ est arbitraire.
• En 1973, Kagan, Linnik et Rao donnent plusieurs caractérisations en considérant des marches aléatoires à pas binomiaux sur un réseau avec des temps d'arrêt markoviens^[32].
• En 1991, Ahmed démontre qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale variable aléatoire b(n, p) si et seulement si^[32] ${\displaystyle \mathbb {E} (X|X>k)=np+qkh_{k}}$ où ${\displaystyle h_{k}=\mathbb {P} (X=k)/\sum _{i=k}^{n}p_{i}}$.

Fonction de répartition

Graphique de 3 fonctions de répartition de lois binomiales avec paramètres : n = 20 et p = 0,1 (en bleu), p = 0,5 (en vert) et p = 0,8 (en rouge).

La fonction de répartition d'une variable aléatoire X suivant la loi binomiale b(n, p) est donnée par^[23] :

${\displaystyle F(x)=\mathbb {P} (X\leq x)={\begin{cases}1&{\textrm {si}}\;x\geq n\\[4pt]\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&{\textrm {si}}\;0\leq x<n\\[4pt]0&si\;x<0\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ est la partie entière de x.

Même s'il existe une expression de la fonction de répartition, son calcul n'est pas facile^[33] à cause des coefficients binomiaux ${\displaystyle {n \choose k}}$, notamment lorsque n est grand. Il existe alors des tables de valeurs (voir ci-dessous). Des théorèmes d'approximation ont été développés^[33] pour approcher de manière théorique et calculatoire cette fonction de répartition (voir ci-dessous). L'expression suivante provient du lien entre la loi binomiale et la loi bêta^[23] (voir ci-dessous) : pour ${\displaystyle 0\leq x<n}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\mathrm {B} \left(\lfloor x\rfloor +1,n-\lfloor x\rfloor \right)}}\int _{p}^{1}t^{\lfloor x\rfloor }(1-t)^{n-\lfloor x\rfloor -1}{\rm {d}}t}$

où B est la fonction bêta. il est alors possible d'écrire la fonction de répartition grâce à la fonction bêta incomplète^[34] :

${\displaystyle F(x)=I_{1-p}(n-\lfloor x\rfloor ,1+\lfloor x\rfloor )}$.

Fonctions caractéristique et génératrice

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire X suivant la loi binomiale b(n, p) est donnée par^[24] :

${\displaystyle \phi (t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tX}\right)=\left(q+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)^{n}\;,\;\forall t\in \mathbb {R} }$.

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X suivant la loi binomiale b(n, p) est donnée par^[23] :

${\displaystyle M(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)=\left(q+p\mathrm {e} ^{t}\right)^{n}\;,\;\forall t\in \mathbb {R} }$.

On déduit directement la fonction génératrice des cumulants^[14] :

${\displaystyle \ln(M(t))=n\ln \left(q+p\mathrm {e} ^{t}\right)\;,\;\forall t\in \mathbb {R} }$,

et la fonction génératrice des cumulants factoriels^[14] :

${\displaystyle \ln \left(\mathbb {E} \left[(1+t)^{X}\right]\right)=n\ln \left(1+pt\right)\;,\;\forall t\in \mathbb {R} _{+}}$.

Loi de Bernoulli

Rappelons que la loi binomiale de paramètres ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ et ${\displaystyle p\in [0,1]}$ est la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de même paramètre p.

Ainsi, la loi binomiale b(1, p) est une loi de Bernoulli de paramètre p.

C'est par cette représentation du nombre de succès et d'échecs dans une suite d'épreuves que la loi binomiale est source de nombreuses applications^[35].

Lois réciproques

Les lois suivantes ont un lien avec la loi binomiale grâce à leur fonctions de répartition. Lorsque le nombre de succès k est fixé, elles donnent la loi du nombre d'épreuves nécessaires (loi binomiale négative) ou la loi du paramètre p (lois bêta ou de Fisher). En ce sens, elles peuvent servir de lois réciproques.

• La loi binomiale b(n, p) donne le nombre de succès dans une succession de n épreuves indépendantes. La loi binomiale négative, ou loi de Pascal, ${\displaystyle Pa(k,p)}$ est le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir k succès^[36]. le terme négatif provient de l'écriture de la fonction de masse qui contient un coefficient binomial avec un terme négatif^{[a 7]}.
  De plus, si X suit une loi ${\displaystyle Pa(k,p)}$ et si Y suit une loi b(n + k, p) alors^[37],[38], pour k entre 0 et n :
  ${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq k)=1-I_{p}(k,n+1)=\mathbb {P} (X\geq n)}$, où ${\displaystyle I_{p}}$ est la fonction bêta incomplète. Autrement dit : la probabilité qu'il faille au moins n épreuves pour avoir k succès est égale à la probabilité qu'il y ait au plus k succès en n + k épreuves.
• Grâce au calcul de la fonction de répartition de la loi bêta donnée par la fonction bêta incomplète ${\displaystyle I_{p}}$, on obtient^{[a 7],[28]}, pour k entre 0 et n :

${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq k)=1-I_{p}(k+1,n-k)=\mathbb {P} (X\geq p)}$ où X suit une loi bêta de paramètres k + 1 , n – k et Y suit une loi binomiale b(n, p).

• La loi binomiale est liée à la loi de Fisher par la propriété suivante^{[a 7],[39]} : si Y suit une loi binomiale b(n, p) alors, pour k entre 0 et n :

${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq k)=\mathbb {P} (F>{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\cdot {\frac {p}{1-p}})}$ où F suit une loi de Fischer de paramètres ${\displaystyle \nu _{1}=2(k+1)\,,\,\nu _{2}=2(n-k)}$.

La relation précédente permet de trouver les quantiles de la loi binomiale^[39].

Autres lois

• La loi binomiale (doublement) tronquée de paramètres ${\displaystyle n,p,r_{1}}$ et ${\displaystyle r_{2}}$ est la loi binomiale b(n, p) avec ${\displaystyle r_{1}<n-r_{2}}$ telle que les valeurs dans ${\displaystyle [0,r_{1}[}$ et dans ${\displaystyle ]n-r_{2},n]}$ sont enlevées^[40]. La fonction de masse de cette loi est donnée par l'expression : pour ${\displaystyle k=r_{1},\dots ,n-r_{2}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}/\sum _{i=r_{1}}^{n-r_{2}}{n \choose i}p^{i}q^{n-i}.}$

De la même manière, il est possible de définir la loi binomiale (simplement) tronquée^[40] en omettant uniquement les valeurs entre 0 et ${\displaystyle r_{1}}$ ou entre ${\displaystyle n-r_{2}}$ et ${\displaystyle n}$.

• La loi binomiale positive ou loi binomiale tronquée en 0 est la loi binomiale b(n, p) dont on retire la valeur 0. Sa fonction de masse est : ${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={n \choose k}{\frac {p^{k}q^{n-k}}{1-q^{n}}}}$. De la même manière il est possible de définir la loi binomiale négative.
• La loi multinomiale est la généralisation multi-dimensionnelle de la loi binomiale^[23] dans le sens où la loi multinomiale modélise une succession d'épreuves dont chacune possède plusieurs issues, pas uniquement succès ou échec. Cette loi multidimensionnelle donne les probabilités du nombre d'apparition des différentes issues dans une succession d'épreuves indépendantes^{[a 7]}.
• La loi bêta-binomiale est construite grâce à un mélange de loi^[41] : une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ${\displaystyle b(n,\pi )}$ dont le paramètre ${\displaystyle \pi }$ est une variable aléatoire qui suit une loi bêta ${\displaystyle B(\alpha ,\beta )}$, est de loi bêta-binomiale de paramètres ${\displaystyle n,\alpha ,\beta }$. Cette loi binomiale est similaire à la loi hypergéométrique négative (en), il suffit de changer les paramètres^[42].
• La fonction de masse d'une variable Y de loi hypergéométrique de paramètres ${\displaystyle A,p=1-q,n}$ est donnée par : ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=k)={\frac {{k \choose pA}{n-A \choose qA}}{n \choose A}}}$. Elle correspond au nombre tirages gagnants dans une expérience de n tirages simultanés dans une urne contenant A boules et une proportion de p boules gagnantes.

Si le nombre de boules augmente, c'est-à-dire A tend vers l'infini, et si p/A tend vers une valeur ${\displaystyle p'\in [0,1]}$, alors la loi hypergéométrique converge vers une loi binomiale^[43] b(n, p').

Autrement dit, si la taille de la population (A) est grande par rapport à la taille de l'échantillon (n), alors les tirages peuvent être convenablement représentés par une loi binomiale de paramètre p' égal au pourcentage (p) d'éléments ayant le caractère étudié.

De plus, si ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$ sont deux variables aléatoires indépendantes de loi binomiale respectives ${\displaystyle b(n_{1},p)}$ et ${\displaystyle b(n_{2},p)}$, alors la loi de ${\displaystyle X_{1}}$ sachant que ${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k}$ est la loi hypergéométrique de paramètres^[29] : ${\displaystyle k,{\frac {n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}}$ et ${\displaystyle n_{1}+n_{2}}$.

Loi des grands nombres

La loi faible des grands nombres, appliquée à un processus de Bernoulli de paramètre p, garantit que pour toute suite (X_n) de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé, et de lois respectives b(n, p) (cf. définition 2 ci-dessus), on a, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$ : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{n}}{n}}-p\right|<\varepsilon \right)=1.}$ Plus précisément, puisque l'espérance et la variance de X_n sont respectivement égales à np et np(1 – p), l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev montre que^[24] : ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{n}}{n}}-p\right|>\varepsilon \right)<{\frac {p(1-p)}{n\,\varepsilon ^{2}}}.}$ Cela peut s'interpréter grossièrement de la manière suivante. Si l'on sait que lors d'une expérience aléatoire (tirage d'un individu dans une population de grande taille, lancer d'une pièce…) la probabilité d'apparition de la propriété A est p(A), alors la fréquence d'apparition de la propriété A au cours de n expériences de ce type (tirages de n individus dans une population de taille très supérieure à n, n lancers de pièce…) est souvent voisine de p(A), avec une probabilité d'autant meilleure que n est grand et que p(A) est proche de 0 ou 1.

Il existe de meilleures majorations de cette probabilité, l'inégalité de Hoeffding donne^{[a 8]} : ${\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {X_{n}}{n}}-p>\varepsilon \right)<\mathrm {e} ^{-2n\varepsilon ^{2}}.}$

Convergence vers la loi de Poisson

Convergence

Considérons une loi binomiale b(n, p) telle que les paramètres n et p sont liés par la formule : ${\displaystyle np=\lambda >0}$ où ${\displaystyle \lambda }$ est fixé. Lorsque n tend vers l'infini, et donc p tend vers 0, alors^[45] : ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{n \choose k}p^{k}q^{n-k}=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$. Autrement dit, la probabilité qu'une variable de loi binomiale prenne la valeur k converge (lorsque n devient grand) vers la probabilité qu'une variable de loi de Poisson prenne la valeur k. Le paramètre p converge alors vers 0, il correspond donc à un évènement de probabilité très faible, la loi de Poisson est alors appelée loi des évènements rares^[45]. Par sommation, on obtient alors le résultat^[46] :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }\mathbb {P} (X\leq x)=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose k}p^{k}q^{n-k}=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=\mathbb {P} (Y\leq x)}$

où ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ est la partie entière, X est une variable de loi binomiale et Y de loi de Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda )}$. Cette limite montre la convergence en loi de la loi binomiale (avec les conditions précédentes) vers la loi de Poisson. Une expression plus détaillée de la convergence peut être donnée par la formule^[47],[23] : ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$ avec ${\displaystyle \lambda ={\frac {(2n-\lfloor x\rfloor )p}{2-p}}}$ lorsque n tend vers l'infini et ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\cdot )}$ est le comparateur asymptotique.

Fonctions de masse d'une loi binomiale ${\displaystyle b(24\,;\,0,5)}$ (en violet), ${\displaystyle b(60\,;\,0,2)}$ (en rouge) et d'une loi de poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(12)}$ (en bleu).

En 1953, Iouri Prokhorov donne une majoration de l'erreur totale d'approximation entre la fonction de répartition d'une loi binomiale b(n, p) et une loi de Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(np)}$^[48] : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }\left|{n \choose k}p^{k}q^{n-k}-{\frac {\mathrm {e} ^{-np}(np)^{k}}{k!}}\right|\leq \min(2np^{2},3p)}$. Il est également possible de borner le ratio entre les deux fonctions de répartition^[48] : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{np}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{k}q^{n}\leq {\frac {{n \choose k}p^{k}q^{n-k}}{\mathrm {e} ^{-np}(np)^{k}/k!}}\leq \mathrm {e} ^{np}q^{n-k}.}$

Approximation

Grâce à la convergence ci-dessus, il est possible d'approcher les probabilités de la loi binomiale par la loi de Poisson. En pratique, le cas s'applique lorsque n est grand et donc p petit. Différentes valeurs sont proposées^{[47],[45],[49],[50]} :

• ${\displaystyle p<0,4}$, lorsque ${\displaystyle n=3}$ (ce qui fait ${\displaystyle np<1,2}$) ;
• ${\displaystyle p<0,3}$, lorsque ${\displaystyle n=30}$ (ce qui fait ${\displaystyle np<9}$) ;
• ${\displaystyle p<0,2}$, lorsque ${\displaystyle n=300}$ (ce qui fait ${\displaystyle np<60}$) ;
• ${\displaystyle 0<np<10}$ ;
• ${\displaystyle p<0,1}$, lorsque ${\displaystyle n\geq 30}$ ;
• ${\displaystyle np\leq 10}$ et ${\displaystyle n\geq 1500p}$.

L'idée commune de toutes ces propositions est d'avoir la valeur np stable lorsque n est grand et p petit.

Convergence vers la loi normale

Illustration de la convergence de la fonction de masse de la loi binomiale vers la loi normale lorsque n grandit.

Convergence

Le théorème de Moivre-Laplace, énoncé en 1733, montre qu'une variable aléatoire de loi binomiale, convenablement renormalisée, converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale. Ce résultat peut s'énoncer grâce aux fonctions de répartition des deux lois. Considérons une variable aléatoire X de loi binomiale b(n, p), la variable aléatoire X renormalisée est la variable aléatoire centrée et réduite, c'est-à-dire : ${\displaystyle {\frac {X-\mathbb {E} (X)}{\sigma _{X}}}={\frac {X-np}{\sqrt {npq}}}}$. Si l'on note ${\displaystyle \Phi }$ la fonction de répartition de la loi normale, alors :

Théorème de Moivre-Laplace : pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mathbb {P} \left({\frac {X-np}{\sqrt {npq}}}\leq x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}{\rm {d}}t=\Phi (x).}$

Bien qu'Abraham de Moivre n'ait énoncé ce résultat que dans le cas d'une loi binomiale^[51], cette convergence est généralisée dans le cas d'autres lois, c'est le théorème central limite. Ce théorème permet d'approcher une loi discrète par une loi continue, il est alors utile d'ajouter un coefficient, dit correction de continuité, afin d'améliorer les approximations futures (voir ci-dessous). La convergence précédente peut alors s'écrire sous forme d'équivalence lorsque n tend vers l'infini^[52] : pour tout ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(a\leq X\leq b\right)\approx \mathbb {P} \left({\frac {a-{\frac {1}{2}}-np}{\sqrt {npq}}}\leq {\frac {X-np}{\sqrt {npq}}}\leq {\frac {b+{\frac {1}{2}}-np}{\sqrt {npq}}}\right)\operatorname {\sim } _{n\rightarrow +\infty }\Phi \left({\frac {b+{\frac {1}{2}}-np}{\sqrt {npq}}}\right)-\Phi \left({\frac {a-{\frac {1}{2}}-np}{\sqrt {npq}}}\right).}$

L'erreur commise par l'approximation est estimée par l'inégalité de Berry-Esseen dont la constante est régulièrement améliorée, elle fournit une borne de la différence entre les deux fonctions de répartition lorsque n est grand^{[53],[a 9]}, pour X une variable aléatoire de loi binomiale b(n, p) et Y de loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ de fonction de répartition notée ${\displaystyle \Phi }$ : ${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\mathbb {P} \left({\frac {X-np}{\sqrt {npq}}}\leq x\right)-\Phi (x)\right|\leq {\frac {0,4748}{\sqrt {npq}}}}$. Une expression plus détaillée de la convergence peut être donnée par la formule avec correction de continuité^[23] : ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)=\Phi \left({\frac {x-np+1/2}{\sqrt {npq}}}\right)+{\mathcal {O}}({\frac {1}{\sqrt {n}}})}$ uniformément pour toute variable x, lorsque n tend vers l'infini et où ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\cdot )}$ est le comparateur asymptotique. D'autres approximations plus fines ont été étudiées^[54], par exemple par Laplace (1820), Prokhorov (1953) ou Peizer et Pratt (en) (1968).

Approximation

Grâce aux théorèmes de convergence ci-dessus, lorsque n est grand, les probabilités de la binomiale renormalisée peuvent être approchées par les valeurs des probabilités de la loi normale. Il existe plusieurs règles sur les paramètres n et p pour que l'approximation soit valable^{[55],[50],[56],[57]} :

• ${\displaystyle n>30}$, ${\displaystyle np>5}$ et ${\displaystyle nq>5}$ ;
• ${\displaystyle npq>9}$ ou ${\displaystyle npq>18}$ ;
• ${\displaystyle np>9}$ et ${\displaystyle p<1/2}$.

L'influence de ces paramètres sur l'approximation a été finement étudiée dans les années 1990, par exemple^[55] : pour n fixé, l'erreur absolue minimale est atteinte pour p = 1/2 ; l'erreur absolue est inférieure à ${\displaystyle 0,0212/{\sqrt {npq}}}$.

Valeurs de la fonction de masse

Les tables de valeurs suivantes^[49] donnent les valeurs de la fonction de masse de la loi binomiale b(n, p) pour différentes valeurs de n.

Exemples : Si X suit une loi ${\displaystyle b(10\,;\,0,15)}$, alors ${\displaystyle \mathbb {P} (X=4)\simeq 0,0401}$. Si Y suit une loi ${\displaystyle b(10\,;\,0,85)}$, alors ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=4)=\mathbb {P} (X=6)\simeq 0,0012}$.

Pour n = 5

${\displaystyle k/p}$	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,50
0	0,7738	0,5905	0,4437	0,3277	0,2373	0,1681	0,1160	0,0778	0,0312
1	0,2036	0,3281	0,3915	0,4096	0,3955	0,3601	0,3124	0,2592	0,1562
2	0,0214	0,0729	0,1382	0,2048	0,2637	0,3087	0,3364	0,3456	0,3125
3	0,0011	0,0081	0,0244	0,0512	0,0879	0,1323	0,1811	0,2304	0,3105
4	0,0000	0,0005	0,0022	0,0064	0,0146	0,0283	0,0488	0,0768	0,1562
5	0,0000	0,0000	0,0001	0,0003	0,0010	0,0024	0,0053	0,0102	0,0312

Pour n = 10

${\displaystyle k/p}$	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,50
0	0,5987	0,3487	0,1969	0,1074	0,0563	0,0282	0,0135	0,0060	0,0010
1	0,3151	0,3874	0,3474	0,2684	0,1877	0,1211	0,0725	0,0403	0,0098
2	0,0746	0,1937	0,2759	0,3020	0,2816	0,2335	0,1757	0,1209	0,0439
3	0,0105	0,0574	0,1298	0,2013	0,2503	0,2668	0,2522	0,2150	0,1172
4	0,0010	0,0112	0,0401	0,0881	0,1460	0,2001	0,2377	0,2508	0,2051
5	0,0001	0,0015	0,0085	0,0264	0,0584	0,1029	0,1536	0,2007	0,2461
6	0,0000	0,0001	0,0012	0,0055	0,0162	0,0368	0,0689	0,1115	0,2051
7	0,0000	0,0000	0,0001	0,0008	0,0031	0,0090	0,0212	0,0425	0,1172
8	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0004	0,0014	0,0043	0,0106	0,0439
9	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0005	0,0016	0,0098
10	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0010

Pour n = 20

${\displaystyle k/p}$	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,50
0	0,3585	0,1216	0,0388	0,0115	0,0032	0,0008	0,0002	0,0000	0,0000
1	0,3774	0,2702	0,1368	0,0576	0,0211	0,0068	0,0020	0,0005	0,0000
2	0,1887	0,2852	0,2293	0,1369	0,0669	0,0278	0,0100	0,0031	0,0002
3	0,0596	0,1901	0,2428	0,2054	0,1339	0,0716	0,0323	0,0123	0,0011
4	0,0133	0,0898	0,1821	0,2182	0,1897	0,1304	0,0738	0,0350	0,0046
5	0,0022	0,0319	0,1028	0,1746	0,2023	0,1789	0,1272	0,0746	0,0148
6	0,0003	0,0089	0,0454	0,1091	0,1686	0,1916	0,1712	0,1244	0,0370
7	0,0000	0,0020	0,0160	0,0545	0,1124	0,1643	0,1844	0,1659	0,0739
8	0,0000	0,0004	0,0046	0,0222	0,0609	0,1144	0,1614	0,1797	0,1201
9	0,0000	0,0001	0,0011	0,0074	0,0271	0,0654	0,1158	0,1597	0,1602
10	0,0000	0,0000	0,0002	0,0020	0,0099	0,0308	0,0686	0,1171	0,1762
11	0,0000	0,0000	0,0000	0,0005	0,0030	0,0120	0,0336	0,0710	0,1602
12	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0008	0,0039	0,0136	0,0355	0,1201
13	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0002	0,0010	0,0045	0,0146	0,0739
14	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0002	0,0012	0,0049	0,0370
15	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0003	0,0013	0,0148
16	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0003	0,0046
17	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0011
18	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0002

Valeurs de la fonction de répartition

Les tables de valeurs suivantes^[59] donnent les valeurs de la fonction de répartition de la loi binomiale b(n, p) pour différentes valeurs de n.

Exemples : Si X suit une loi ${\displaystyle b(10\,;\,0,15)}$, alors ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq 4)\simeq 0,9901}$. Si Y suit une loi ${\displaystyle b(10\,;\,0,85)}$, alors ${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq 4)=\mathbb {P} (X\geq 6)=1-\mathbb {P} (X\leq 5)\simeq 1-0,9986=0,0014}$.

Pour n = 5

${\displaystyle k/p}$	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,50
0	0,7738	0,5905	0,4437	0,3277	0,2373	0,1681	0,1160	0,0778	0,0312
1	0,9774	0,9185	0,8352	0,7373	0,6328	0,5282	0,4284	0,3370	0,1875
2	0,9988	0,9914	0,9734	0,9421	0,8965	0,8369	0,7648	0,6826	0,5000
3	1,0000	0,9995	0,9978	0,9933	0,9844	0,9692	0,9460	0,9130	0,8125
4	1,0000	1,0000	0,9999	0,9997	0,9990	0,9976	0,9947	0,9898	0,9688
5	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

Pour n = 10

${\displaystyle k/p}$	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,50
0	0,5987	0,3487	0,1969	0,1074	0,0563	0,0282	0,0135	0,0060	0,0010
1	0,9139	0,7361	0,5443	0,3758	0,2440	0,1493	0,0860	0,0464	0,0107
2	0,9885	0,9298	0,8202	0,6778	0,5256	0,3828	0,2616	0,1673	0,0547
3	0,9990	0,9872	0,9500	0,8791	0,7759	0,6496	0,5138	0,3823	0,1719
4	0,9999	0,9984	0,9901	0,9672	0,9219	0,8497	0,7515	0,6331	0,3770
5	1,0000	0,9999	0,9986	0,9936	0,9803	0,9527	0,9051	0,8338	0,6230
6	1,0000	1,0000	0,9999	0,9991	0,9965	0,9894	0,9740	0,9452	0,8281
7	1,0000	1,0000	1,0000	0,9999	0,9996	0,9984	0,9952	0,9877	0,9453
8	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9999	0,9995	0,9983	0,9893
9	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9999	0,9990
10	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

Pour n = 20

${\displaystyle k/p}$	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,50
0	0,3585	0,1216	0,0388	0,0115	0,0032	0,0008	0,0002	0,0000	0,0000
1	0,7358	0,3817	0,1756	0,0692	0,0243	0,0076	0,0021	0,0005	0,0000
2	0,9245	0,6769	0,4049	0,2061	0,0913	0,0355	0,0121	0,0036	0,0002
3	0,9841	0,8670	0,6477	0,4114	0,2252	0,1071	0,0444	0,0160	0,0013
4	0,9974	0,9568	0,8298	0,6296	0,4148	0,2375	0,1182	0,0510	0,0059
5	0,9997	0,9887	0,9327	0,8042	0,6172	0,4164	0,2454	0,1256	0,0207
6	1,0000	0,9976	0,9781	0,9133	0,7858	0,6080	0,4166	0,2500	0,0577
7	1,0000	0,9996	0,9941	0,9679	0,8982	0,7723	0,6010	0,4159	0,1316
8	1,0000	0,9999	0,9987	0,9900	0,9591	0,8867	0,7624	0,5956	0,2517
9	1,0000	1,0000	0,9998	0,9974	0,9861	0,9520	0,8782	0,7553	0,4119
10	1,0000	1,0000	1,0000	0,9994	0,9961	0,9829	0,9468	0,8725	0,5881
11	1,0000	1,0000	1,0000	0,9999	0,9991	0,9949	0,9804	0,9435	0,7483
12	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,998	0,9987	0,9940	0,9790	0,8684
13	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9997	0,9985	0,9935	0,9423
14	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9997	0,9984	0,9793
15	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9997	0,9941
16	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9987
17	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9998
18	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

Tests

D'une manière générale, un test statistique permet de rejeter, ou non, une hypothèse dite hypothèse nulle. L'idée principale est de prendre un échantillon et de vérifier si l'hypothèse est vraie pour chaque élément de l'échantillon. Si on considère que les éléments sont indépendants, on compte donc le nombre d'éléments vérifiant une propriété, il y a donc présence de la loi binomiale. On compare si la proportion observée est significativement éloignée de la probabilité théorique de la loi binomiale^[60]. Ce test est appelé un test binomial. On peut utiliser aussi la loi normale lorsque la taille de l'échantillon est grand.

Il est possible d'effectuer un test statistique sur la conformité des valeurs des paramètres d'une loi de probabilité, notamment d'une loi binomiale, par rapport aux paramètres théoriques attendus pour la population étudiée^[61]. Le test de conformité de l'indice de dispersion s'applique dans ce cas^[62]. Cet indice de dispersion est le quotient de la somme des carrés des écarts et de la moyenne. Si ${\displaystyle x_{k},\,k=1\dots n}$ sont les valeurs étudiées de moyenne notée ${\displaystyle {\bar {x}}}$ alors l'indice est : ${\displaystyle {\frac {1}{\bar {x}}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-{\bar {x}})^{2}}$. Grâce à une Loi du χ² ou une loi normale, le test rejette l'hypothèse de la valeur que prend le paramètre p de la loi binomiale^[62].

Il est également possible de tester l'égalité de deux variables aléatoires de lois binomiales. Soient ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$ deux variables aléatoires de lois respectives ${\displaystyle b(n_{1},p_{1})}$ et ${\displaystyle b(n_{2},p_{2})}$. On souhaite tester si ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=p}$, c'est l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ du test. Par le théorème central limite, l'estimateur ${\displaystyle {\hat {p}}_{1}=X_{1}/n_{1}}$ suit une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(p_{1},p_{1}(1-p_{1})/n_{1})}$ lorsque ${\displaystyle n_{1}}$ est grand. Il en est de même avec ${\displaystyle {\hat {p}}_{2}}$. En considérant l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ vraie, on peut montrer que ${\displaystyle Z={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2}}{\sqrt {p(1-p)(1/n_{1}+1/n_{2})}}}}$ suit une loi normale centrée réduite^[63]. On rejette alors l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ au niveau de confiance 0,95 si ${\displaystyle |Z|>1,96}$.