Approche matricielle

Une matrice carrée ${\displaystyle M}$ à coefficients dans un corps K est dite diagonalisable sur K s'il existe une matrice inversible ${\displaystyle P}$ (appelée matrice modale) et une matrice diagonale ${\displaystyle D}$ à coefficients dans K satisfaisant la relation :

${\displaystyle M=PDP^{-1}\,.}$

Dans ce cas, chaque vecteur colonne ${\displaystyle Y}$ de la matrice ${\displaystyle P}$ est un vecteur propre pour la matrice ${\displaystyle M}$, c'est-à-dire qu'il existe un scalaire ${\displaystyle \lambda }$ sur la diagonale de ${\displaystyle D}$ tel que ${\displaystyle MY=\lambda Y}$.

Réciproquement, si une matrice admet une famille de vecteurs propres qui forment une base de l'espace des vecteurs colonnes alors cette matrice est diagonalisable. Il suffit de construire la matrice inversible formée par une juxtaposition de ces vecteurs, la matrice diagonale étant définie par la suite des valeurs propres associées.

Endomorphisme

Un endomorphisme d'un espace vectoriel est dit diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres. Cela signifie que l'espace vectoriel peut être décomposé en une somme directe de droites stables par l'endomorphisme, ou autrement dit que l'espace vectoriel est la somme directe des sous-espaces propres de l'endomorphisme^[1].

En dimension finie, cette définition signifie que l'endomorphisme est représenté dans cette base par une matrice diagonale, donc que n'importe quelle représentation matricielle de l'endomorphisme est une matrice diagonalisable par changement de base.

Puissances et polynômes

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\dots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\dots &0&\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

Expression d'une puissance de matrice diagonale.

Les puissances d'une matrice diagonalisable s'expriment sous la forme

${\displaystyle M^{k}=PD^{k}P^{-1}\,}$

où la puissance de la diagonale se calcule en élevant simplement chaque coefficient diagonal à la même puissance ${\displaystyle k}$.

En conséquence, pour tout polynôme Q, la matrice Q(M) est égale à P.Q(D).P^-1, et Q(D) s'exprime en appliquant simplement Q à chaque coefficient diagonal de D. On en déduit que Q(M) est nulle si et seulement si tous les coefficients diagonaux de D sont des racines du polynôme Q. Le polynôme minimal de M est donc le produit des facteurs (X-λ), où λ parcourt l'ensemble des coefficients diagonaux de D sans tenir compte de leur éventuelle multiplicité. En particulier, ce polynôme est scindé à racines simples.

Caractérisation

Racine

Le fait que toute puissance d'une matrice diagonalisable soit également diagonalisable admet une réciproque partielle. Toute matrice inversible admettant au moins une puissance non nulle diagonalisable est diagonalisable également sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.

Ce résultat est une conséquence de la caractérisation ci-dessus par les polynômes. Soit ${\displaystyle A}$ une matrice inversible dont une puissance ${\displaystyle A^{n}}$ (avec ${\displaystyle n>0}$) a pour polynôme minimal un polynôme scindé à racines simples s'écrivant :

${\displaystyle P(X)=\prod _{i}{(X-\lambda _{i})}\,}$

Puisque ${\displaystyle A}$ est inversible, sa puissance ${\displaystyle A^{n}}$ l'est également donc toutes les racines de ${\displaystyle P}$ sont non nulles. Il en découle que le polynôme suivant :

${\displaystyle Q(X)=\prod _{i}{(X^{n}-\lambda _{i})}\,}$

est également scindé à racines simples et est annulé par ${\displaystyle A}$, qui est donc diagonalisable.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

Exemple de matrice non diagonalisable modulo ${\displaystyle p}$
mais dont la puissance ${\displaystyle p}$-ième vaut l'identité modulo ${\displaystyle p}$.

La condition d'inversibilité permet d'exclure les matrices nilpotentes dont une puissance est la matrice nulle qui est diagonalisable. La condition de clôture algébrique peut être affaiblie en supposant simplement que les valeurs propres de ${\displaystyle A}$ admettent leurs racines d'ordre ${\displaystyle n}$ dans le corps des coefficients. Enfin, il suffit que la caractéristique du corps soit première avec l'exposant de la puissance diagonalisable pour garantir que ces racines soient simples.

Matrices symétriques

Toute matrice réelle symétrique est diagonalisable par une matrice orthogonale, c'est-à-dire que l'endomorphisme associé dans l'espace euclidien de dimension ${\displaystyle n}$ est diagonalisable dans une base orthonormale. Réciproquement, si ${\displaystyle U}$ est une matrice orthogonale et ${\displaystyle D}$ une matrice diagonale réelle, alors le produit de matrices réelles ${\displaystyle UDU^{-1}}$ est une matrice symétrique.

Lorsqu'une matrice symétrique ${\displaystyle A}$ est positive, c'est-à-dire si ses valeurs propres sont toutes positives, il existe une unique matrice symétrique positive dont le carré soit ${\displaystyle A}$. Cette racine carrée de ${\displaystyle A}$ est en effet diagonalisable et a nécessairement les mêmes espaces propres avec des valeurs propres en racine carrée de celles de ${\displaystyle A}$.

Matrices normales

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Matrice réelle orthogonale et antisymétrique,
diagonalisable sur le corps des complexes
mais pas sur celui des réels.

De même, toute matrice complexe hermitienne est diagonalisable par une matrice unitaire en une matrice diagonale réelle. Plus généralement, les matrices complexes diagonalisables par une matrice unitaire sont les matrices normales, c'est-à-dire qui commutent avec leur adjointe. Cette définition comprend à la fois les matrices hermitiennes, les antihermitiennes, les unitaires et en particulier leurs versions réelles : symétriques, antisymétriques et orthogonales. Cependant, ces deux dernières familles de matrice n'admettent pas en général de diagonalisation sur le corps des réels.

Application au théorème spectral

La sphère rouge représente la sphère unité pour la première distance, la figure bleue représente la sphère unité pour la deuxième distance. La figure bleue est un ellipsoïde dont les axes peuvent être choisis orthogonaux pour la première distance.

Le théorème spectral stipule qu'étant données deux formes bilinéaires symétriques sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, si l'une d'entre elles est définie positive, il existe une base orthonormale pour celle-ci qui soit orthogonale pour l'autre.

Autrement dit, il existe une base dans laquelle les deux formes sont représentées par des matrices diagonales, la première étant même la matrice identité I. Si les deux formes ont respectivement pour matrice A et B dans une base arbitraire, et pour matrices I et B' dans la base particulière fournie par le théorème, les nouvelles matrices ne sont pas semblables aux anciennes, mais congruentes, via la matrice de passage P (inversible) et sa matrice adjointe P* :

${\displaystyle I=P^{*}\ A\ P,\quad B'=P^{*}\ B\ P}$.

Pour démontrer le théorème il suffit de considérer, sur l'espace euclidien ou hermitien défini par la première forme, l'endomorphisme autoadjoint canoniquement associé à la seconde : il existe une base orthonormée (par rapport à la première forme) qui est propre pour cet endomorphisme (donc qui est orthogonale pour la seconde forme).

Sur le corps des complexes

Une partie des matrices diagonalisables est constituée de celles dont le polynôme caractéristique est à racines simples, c'est-à-dire de discriminant non nul. Comme ce discriminant est polynomial en les coefficients des matrices, son lieu d'annulation est un fermé. Par passage au complémentaire, les matrices dont le polynôme caractéristique est à racines simples forment donc un ouvert.

N'importe quelle matrice peut être approchée par de telles matrices en perturbant les coefficients diagonaux d'une matrice triangulaire semblable. L'ensemble des matrices diagonalisables contient donc un ouvert dense. Par passage au complémentaire, l'ensemble des matrices non diagonalisables (inclus dans le lieu d'annulation du discriminant) est donc rare, c'est-à-dire que son adhérence est d'intérieur vide.

Plus précisément, le lieu d'annulation du discriminant est une sous-variété algébrique (stricte) donc elle est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue (quelle que soit la base choisie) ou pour n'importe quelle mesure qui lui est absolument continue.

Enfin, l'ensemble des matrices diagonalisables est un cône, c'est-à-dire qu'il est stable par multiplication scalaire, donc il est connexe par arcs via la matrice nulle. En particulier, il est donc connexe.

Il est possible de démontrer aussi que l'ensemble des matrices diagonalisables inversibles est également connexe par arcs comme image du produit des matrices diagonales inversibles (isomorphe à un produit fini de copies du groupe des complexes non nuls) et du groupe linéaire, tous deux connexes par arcs.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {Diag} _{n}^{*}(\mathbb {C} )\times \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )&\!\!\longrightarrow \!\!&{\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )\\(D,U)&\mapsto &UDU^{-1}\end{array}}}$

Sur le corps des réels

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\chi _{M}(X)\!\!\!&=(a-X)(d-X)-bc\\&=X^{2}-(a+d)X+ad-bc\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\Delta \!\!\!&=(a+d)^{2}-4(ad-bc)\\&=(a-d)^{2}+(b+c)^{2}-(b-c)^{2}\end{array}}}$

Matrice carrée de taille 2, polynôme caractéristique et discriminant dont l'ensemble d'annulation
est le double cône représenté par projection sur l'ensemble des matrices de trace nulle.
Ce cône est la frontière de l'ensemble des matrices non diagonalisables (au-dessus et en dessous),
séparé en deux composantes connexes par l'ensemble des matrices scalaires (sommet à l'origine).

À partir de la dimension 2, l'ensemble des matrices diagonalisables sur le corps des réels n'est pas dense comme dans le cas complexe, donc l'ensemble des matrices non diagonalisables n'est pas négligeable pour la mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des matrices réelles non diagonalisables sur les réels et dont le polynôme caractéristique est à racines simples sur le corps des complexes forme alors un ouvert non vide.

En dimension 2 ou 3, la diagonalisabilité d'une matrice est déterminée par le signe du discriminant de son polynôme caractéristique lorsqu'il est non nul. Le lieu d'annulation de ce discriminant réunit alors les matrices non diagonalisables même sur le corps des complexes et les matrices diagonalisables dont le polynôme caractéristique est à racines multiples.