توزيع احتمالي طبيعي

التوزيع الطبيعي

دالة الكثافة الاحتمالية الخط الأخضر يمثل التوزيع الاحتمالي الطبيعي الموسّط المختزل
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	${\displaystyle \mu }$ موقع (عدد حقيقي) ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ مقياس تربيعي (عدد حقيقي)
الدعم	${\displaystyle x\in ]-\infty ;+\infty [\!}$
د۔ك۔ح۔	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!}$
د۔ت۔ت	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!}$
المتوسط الحسابي	${\displaystyle \mu }$
الوسيط الحسابي	${\displaystyle \mu }$
المنوال	${\displaystyle \mu }$
التباين	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
التجانف	0
التفرطح	3 (حالة توزيع طبيعي) 0 (في حالة توزيع طبيعي موسّط ومختزل)
الاعتلاج	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!}$
د۔م۔ع	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}\right)}$
الدالة المميزة	${\displaystyle \phi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

في نظرية الاحتمالات، التوزيع الطبيعي (أو الغاوسي) هو توزيع احتمالي مستمر كثير الانتشار والاستعمال، يستخدم غالباً تقريبا أوليا لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة وحيدة. لمخطط تابع كثافة الاحتمال المقابل لهذا التوزيع شكل الجرس، ويعرف بالدالة الغاوسية أو منحني الجرس.

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}$

حيث μ هو القيمة المتوقعة (مكان الذروة)، وσ² هو التباين (قياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع μ = 0 وσ² = 1 فإنه يسمى التوزيع الطبيعي المعياري.

يعد التوزيع الطبيعي التوزيع الاحتمالي المستمر الأساسي، نظراً لدوره في مبرهنة النهاية المركزية، كما أنه من أول التوزيعات المستمرة التي تدرس في مقررات الإحصاء الابتدائية. فوفقاً لمبرهنة النهاية المركزية، وتحت شروط معينة، فإن مجموع عدد من المتغيرات العشوائية بعدد منته من المتوسطات والتباينات يقارب توزيعاً طبيعياً بازدياد عدد تلك المتغيرات. ولهذا السبب، فإنه كثيراً ما يشاهد هذا التوزيع في الممارسة العملية، وهو يستخدم في الإحصاء والعلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية ^[1] نموذجا بسيطا للتعامل مع ظواهر معقدة. على سبيل المثال، خطأ الملاحظة في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعياً. كما يحسب انتشار اللايقين باستخدام هذا الافتراض أيضاً.

انظر إلى توزيع ستيودنت الاحتمالي وإلى توزيع كوشي وإلى التوزيع اللوجستي.

لاحظ أن لمتغير ذي توزع طبيعي توزيعاً متناظراً حول متوسطه. ولهذا فإن القيم التي تنمو بشكل أسي (كالأسعار والدخل وعدد السكان) تكون ملتوية نحو اليمين (skewness)، وبالتالي يمكن التعبير عنها بشكل أفضل باستخدام توزيعات أخرى، كالتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي وتوزيع باريتو.

تعريف

التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل

تُعرف أبسط حالة من التوزيع الطبيعي باسم التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل. إنه حالة خاصة حيث μ=0 و σ=1. نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة ${\displaystyle \varphi }$.

الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس.

الدالّة ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$ بحيث ${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

هي دالة كثافة احتمالية : هي متواصلة وتكاملها على ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$ يساوي 1.

نعلم أن ${\displaystyle \ \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt={\sqrt {2\,\pi }}}$ تكامل غاوسي.

ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقا من دالة الكثافة هذه له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينا يساوي 0.

التوزيع الطبيعي في شكله العام

خصائص

التناظر والاشتقاق

لتوزيع طبيعي (f(x متوسطه μ وانحرافه σ الخصائص التالية:

• الكثافة ${\displaystyle \varphi }$ متناظرة حول النقطة x=μ والتي تمثل في نفس الوقت، منوال التوزيع ووسيطه وقيمته المتوقعة.
• أحادي المنوال.
• يمكن اشتقاق هذه الدالة عددا لا متناهيا من المرّات وتحقق مهما كان ${\displaystyle \ t\in \mathbb {R} }$ المعادلة التالية ${\displaystyle \varphi '(t)=-t\,\varphi (t)}$.
• القيم الأكثر تكراراً تقع في مركز التوزيع
• كل من المتوسط، الوسيط، والمنوال يقع في مركز التوزيع
• القيم البعيدة عن المتوسط ذات تكرار أقل
• مجموع تكرارات القيم التي هي أكبر من المتوسط يساوي مجموع تكرارات القيم التي تحته
• توجد علاقة معروفة بين نسبة المشاهدات (p) التي تقع ضمن مجال يبعد عن المتوسط بمقدار (z) من الانحرافات المعيارية

تحويل فورييه والدالة المميزة

تحويل فورييه لتوزيع طبيعي متوسطه μ وانحرافه σ يعطي بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\hat {\phi }}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\!f(x)e^{itx}dx=e^{i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma t)^{2}}}$

حيث i هو الوحدة التخيلية.

دالة التوزيع التراكمي

لتكن ${\displaystyle \Phi }$ دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الموسّط المختزل. تحدد لكل عدد حقيقي x ب:

${\displaystyle \ \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\varphi (t)\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt}$.

وهي تكامل ${\displaystyle \varphi }$ ونهايتها في ${\displaystyle -\infty }$ تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء.

خاصيات الدالة ${\displaystyle \Phi }$ :

• قابلة للاشتقاق بعدد غير متناهي من المرّات و${\displaystyle \Phi '=\varphi }$.
• نامية حصريا وتنتهي إلى 0 في ${\displaystyle -\infty }$ وإلى 1 في ${\displaystyle +\infty }$.

مبرهنة النهاية المركزية

كلما كبر عدد الأحداث المتقطعة، كلما زادت الدالة شبها للتوزيع الطبيعي

Comparison of probability density functions, p(k) for the sum of n fair 6-sided dice to show their convergence to a توزيع طبيعي with increasing n, in accordance to the central limit theorem. In the bottom-right graph, smoothed profiles of the previous graphs are rescaled, superimposed and compared with a normal distribution (black curve).

${\displaystyle Z={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$

التاريخ

في عام 1733 وضع Abraham De Moivre نطريته الأولى حول التوزيع الطبيعي والتي كانت تعرف بـ Exponential bell-shaped curve بنائا على التقريب التقديري الذي وصل إليه من نظرية أحتمال رمي القطع المعدنيه عدة مرات وتوزيعها. في عام 1809 قام Carl Frieddrich Gauss بإطلاق النظرية الهامة وأسماها Normal distribuition (التوزيع الطبيعي) حيثم قام باستخدامها لحساب توقعات أماكن الهيئات الفلكية. ومنذ ذلك الحين أحذ هذا التوزيع أهميته وانتشاره وعرف ايضاً باسم Gaussion distribution.

التطور

كارل فريدريش غاوس اكتشف التوزيع الطبيعي في عام 1809 أثناء عمله على طريقة المربعات الدنيا.

الاسم

مراجع

انظر أيضاً

• التشويش الجاوسى
• ضجيج أبيض
• دالة الكثافة الاحتمالية
• نظرية الألعاب
• تقدير الاحتمال

قراءات

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة إحصاء