دالة غاما

هي امتداد لدالة العاملي إلى الأعداد الحقيقية والمركبة

منحنى لدالة غاما على طول المحور الحقيقي

منحنى لدالة غاما في معلم مركب

في الرياضيات، دالة غاما (Gamma function)‏ (والممثلة عموما بالحرف الإغريقي Γ) هي امتداد لدالة المضروب في الأعداد الحقيقية والمركبة. إذن، دالة غاما هي دالة تحقق ما يلي بالنسبة عدد صحيح موجب n: $\forall \,n\in \mathbb {N} ,\;\Gamma (n+1)=n!$

دالة غاما هي دالة معرفة عند جميع الأعداد المركبة باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة. فللعدد z الذي يتكون من جزء حقيقي موجب تعرف دالة غاما كما يلي: $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\;$

ويمكن أن يمتد هذا التعريف بالامتداد التحليلي لباقي المستوى المركب عدا الأعداد غير الموجبة الصحيحة (حيث للدالة أقطاب).

انظر إلى تحويل ميلين.

\Gamma (t)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(t).

تظهر دالة غاما في العديد من دوال التوزيعات الاحتمالية، مما يجعلها مهمة في مجالات الاحتمال والإحصاء كما في مجال التوافقيات.

أهداف تعريف دالة غاما

من حيث التبيان، من السهل تمديد دالة عاملي إلى أعداد غير طبيعية، ولكن هل من صيغة تمثل المنحنى الناتج عن هذا التمديد؟

تعريف

التعريف الأساسي

الصيغة المعممة لدالة غاما على المستوى العقدي

عالم الرياضيات الفرنسي ليجاندر هو أول من استعمل الرمز (Γ(z. باستعمال التكامل بالتجزيء، يمكن أن نجد أن دالة غاما تحقق المعادلة التالية :

\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).

علما أن 1 = (Γ(z، نحصل على ما يلي:

\Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\dots (n-1)=(n-1)!\,

تعريفات أخرى

{\begin{aligned}\Gamma (t)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}\\\Gamma (t)&={\frac {e^{-\gamma t}}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {t}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {t}{n}}\end{aligned}}

حيث ...γ ≈ 0.577216 هي ثابتة أويلر-ماسكيروني.

دالة غاما في المستوى العقدي

خصائص

خصائص عامة

\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi  \over \sin {(\pi z)}},0<z<1

انظر إلى تكامل غاوسي.

الامتداد باستعمال متسلسلة فورييه

\ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1,

صيغة راب

دالة Pi

التكامل عبر لوغارتم دالة غاما

العلاقة بدوال أخرى

قيم خاصة

مقالة مفصلة: قيم خاصة لدالة غاما

فيما يلي بعض من القيم الخاصة لدالة غاما

{\begin{alignedat}{3}\Gamma (-1)&=(-2)!&&=\infty \\\Gamma (0)&=(-1)!&&=\infty \\\Gamma (1)&=0!&&=1\\\Gamma (2)&=1!&&=1\\\Gamma (3)&=2!&&=2\\\Gamma (4)&=3!&&=6\\\Gamma (-{\tfrac {3}{2}})&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-{\tfrac {1}{2}})&=-2{\sqrt {\pi }}&&\approx -3.544907701811\\\Gamma ({\tfrac {1}{2}})&={\sqrt {\pi }}&&\approx 1.772453850905\\\Gamma ({\tfrac {3}{2}})&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 0.88622692545\\\Gamma ({\tfrac {5}{2}})&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 1.32934038818\\\Gamma ({\tfrac {7}{2}})&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 3.32335097045\end{alignedat}}

تقريبات

تطبيقات

التاريخ

القرن الثامن عشر : أويلر وستيرلينغ

معضلة تمديد دالة العاملي إلى الأعداد غير الصحيحة درست لأول مرة من طرف كل من دانييل برنولي وكريستيان غولدباخ في عشرينات القرن الثامن عشر. إلا أنها حلحلت من طرف عالم الرياضيات ليونهارت أويلر. كان ذلك في نهاية ذلك العقد ذاته. أعطى أويلر تعريفين اثنين لدالة عاملي. الأول لم يكن تكامله ولكنه كان جداءا غير منته.

n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,

والذي أخبر به غولدباخ في رسالة أرسلها إليه في الثالث عشر من أكتوبر عام 1729. كتب أويلر مجددا إلى غولدباخ في الثامن من يناير عام 1730 من إجل إخباره أن توصل إلى صيغة أخرى عل شكل تكامل تساوي دالة العاملي.