اقتصار (رياضيات)

الدالة x ² ليس لديها دالة عكسية على المجال R. إذا قمنا باقتصار x ² على مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة، عندها يكون لها دالة عكسية، المعروف باسم الجذر التربيعي لـx.

في الرياضيات، اقتصار دالة ${\displaystyle f}$ ^[1] هي دالة جديدة يرمز لها بـ ${\displaystyle f\vert _{A}}$ أو ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}}$، يتم الحصول عليها من خلال اختيار أصغر مجال للدالة الأصلية ${\displaystyle f}$.

أمثلة

1. اقتصار دالة غير تباينية ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ على المجال ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty [}$ هو التباين ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ .
2. تتمثل الدالة عاملي في اقتصار الدالة غاما على مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة لأننا نطرح 1 من n، أي: ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

خصائص الاقتصار

• اقتصار دالة${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ على المجال بأكمله ${\displaystyle X}$ يعيد إلى الدالة الأصلية، أي ${\displaystyle f|_{X}=f}$ .
• اقتصار دالة مرتين هو نفسه اقتصارها مرة واحدة، أي إذا كان ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f}$ ، فإنّ:${\displaystyle (f|_{B})|_{A}=f|_{A}}$ .
• إن اقتصار الدالة المحايدة المعرفة على مجموعة X على مجموعة فرعية A من X هو مجرد تباين قانوني من A إلى X.^[2]
• اقتصار دالة مستمرة هو عبارة عن دالة مستمرة. ^{[3] [4]}

تطبيقات

دوال عكسية

لكي يكون لدالة f دالة عكيسة، يجب أن تكون تقابلية، وإذا لم تكن f كذلك، يمكن تحديد دالتها العكسية عن طريق اقتصارها (تقييدها) على جزء من المجال.

على سبيل المثال، دالة ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$المُعرّفة عموماً على ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ليست تقابلية لأن x ² = (- x ) ² وذلك لكل x من ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

ومع ذلك، تصبح الدالة ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ تقابلية إذا اقتصرنا على المجال ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty [}$ ، في هذه الحالة

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

ملاحظة:

(إذا كنا نود أن نقتصر على المجال ${\displaystyle (-\infty ,0]}$، فإن دالتها العكسية ستكون ${\displaystyle -{\sqrt {y}}}$) بدلاً من ذلك، ليست هناك حاجة لاقتصار المجال إذا كنا لا نريد إيجاد الدالة العكسية كونها دالة متعددة القيم.

تحديد اللعمليات

الحزم

مقالات ذات صلة

• قيد
• انكماش تشويهي
• علاقة ثنائية

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي