دالة مربع

الدالة مربع^[1] أو الدالة التربيعية من الشكل ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$، هي الدالة التي تحول العدد إلى مربعه.

الدالة مربع
الرسم البياني لدالة مربع له شكل قطع مكافئ.
ترميز	${\displaystyle x^{2}}$
دالة عكسية	${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
مشتق الدالة	${\displaystyle 2x}$
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	زوجية
مجال الدالة	${\displaystyle ]-\infty ,+\infty [}$
المجال المقابل	${\displaystyle [0,+\infty [}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
نهاية الدالة عند +∞	${\displaystyle +\infty }$
نهاية الدالة عند -∞	${\displaystyle +\infty }$
الحدود الأدنى	0
القيمة/النهاية عند 1	1
القيمة/النهاية عند 2	4
القيمة/النهاية عند -1	1
القيمة/النهاية عند -2	4
جذور الدالة	0
نقاط حرجة	0
نقاط ثابتة	1 و0

خصائص

إشارة

الخاصية الأولى هي الإيجابية الدالة مربع. في الواقع، من أجل كل عدد حقيقي ${\displaystyle x}$ ، فإن ${\displaystyle x\times x}$ هو جداء عددين حقيقيين لنفس الإشارة؛ حسب قاعدة الإشارات فإنها موجبة.

زوجية

تعتبر الدالة مربع دالة زوجية أي : ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ من أجل كل عدد حقيقي ${\displaystyle x}$ . في الواقع، مع الملاحظة السابقة بتطبيق قاعدة الإشارات نتحصل على:${\displaystyle f(-x)=(-x)\times (-x)=x\times x=f(x)}$ .

مشتقة

مشتقة الدالة مربع هي للدالة ${\displaystyle x\mapsto 2x}$ (عبارة عن دالة خطية وبالتالي دالة فردية).

مشتق عكسي

مشتق عكسي للدالة ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$:

${\displaystyle g(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C}$ حيث C ثابت حقيقي.

دالة عكسية

دالة عكسية لـ ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ على المجال ${\displaystyle [0,+\infty [}$ هي دالة الجذر التربيعي ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ .

حل معادلة من الشكل ${\displaystyle x^{2}=a}$

حساب سوابق العدد الحقيقي a بواسطة الدالة مربع يكافئ حل المعادلة ${\displaystyle x^{2}=a}$. هناك ثلاث حالات ممكنة :

• ${\displaystyle a<0}$ : ليس للمعادلة حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.
• ${\displaystyle a=0}$ : للمعادلة حل وحيد، x = 0 ؛
• ${\displaystyle a>0}$ : للمعادلة حلان، ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ و ${\displaystyle -{\sqrt {a}}}$ .

التكامل

بما أن الدالة مربع هي عبارة عن كثير حدود تربيعي، فإن طريقة سيمبسون تكون دقيقة عندما نحسب تكاملها. من أجل كل متعدد الحدود التربيعي P والأعداد الحقيقية a و b، لدينا:

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}$

إذن، من أجل${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ لدينا :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).}$

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي