عدد مخمسي مربعي

☰ جدول المحتويات

نبذة تمهيدية
المعادلة الدوفانتية
خصائص
مقالات ذات صلة
مراجع

في الرياضيات,العدد المخمسي المربعي هو عدد شكلي مخمسي غير ممركز و مربعي غير ممركز في نفس الوقت. يصبح العدد عددا مخمسيا مثلثيا إذا حقق المساوة التالية : (P_N=S_M= m² = n(3n-1)/3. حيث m و n عددان صحيحان طبيعيان.

الأعداد المخمسية المربعية الأوائل هي: 0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801...[1].

و هي تعطي الصيغة $a(n)={\frac {(-12(5-2{\sqrt {6}})^{2n}+5{\sqrt {6}}(5-2{\sqrt {6}})^{2n}-12(5+2{\sqrt {6}})^{2n}-5{\sqrt {6}}(5+2{\sqrt {6}})^{2n})^{2}}{576}}$ .

ترتيب الأعداد المخمسية المقابلة للأعداد المخمسية المربعية الأوائل هي :1, 81, 7921, 776161, 76055841, 7452696241, 730288175761, 71560788528321, 7012226987599681, 687126683996240401, 67331402804643959601, 6597790348171111800481, 646516122717964312487521...

المعادلة الدوفانتية

بإكمال المربع ينتج عن ذلك المعادلة الدوفانتية:

${\frac {n(3n-1)}{2}}={\frac {3}{2}}(n^{2}-{\frac {1}{3n}})={\frac {3}{2}}(n-{\frac {1}{6}})^{2}-{\frac {3}{72}}=m^{2}$

${\frac {3(6n-1)^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}=36m^{2}$

$(6n-1)^{2}-24m^{2}=1$

بحذف x=6×n-1 و y=2×m يُحصل على المعادلة الدوفانتية:

$x^{2}-6y^{2}=1$

و التي تملك الحلول التالية : (x,y) تساوي (5,2) , (49, 20), (485, 198) ... إذا (n,m) تعطي (1,1), (25/3, 10), (81, 99), (2401/3, 980), (7921, 9701), ... بالتالي الحلول الصحيحة ل(n,m) هي (1, 1) , (81, 99), (7921, 9701), (776161, 950599), (A046172, A046173). المقابلة الأعداد المخمسية المربعية 0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001...^[1]

خصائص

كثافة الأعداد المربعية بالنسبة إلى الأعداد المخمسية هي ${\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\approx \!\,1,2247448713915890490986420373529$ . لذلك ترتيب العدد المربعي المخمسي في مجموعة الأعداد المخمسية بالنسبة إلى ترتيبه في مجموعة الأعداد المربعة الكاملة يقترب إلى تلك النسبة كلما كبر العدد.

العدد المخمسي المربعي	ترتيبه في مجموع الأعداد المربعة :a= ${\sqrt {x}}$	ترتيبه في مجموعة الأعداد المخمسية:b	${\frac {a}{b}}$
1	1	1	1
9801	99	81	1.22222222 $\approx \!\,$
94109401	9701	7921	...1,2247191 $\approx \!\,$
903638458801	950599	776161	...1,2247446 $\approx \!\,$

لم يعثر بعد على عدد مخمسي مربعي مثلثي أكبر من 1. جميع الأعداد المخمسية المربعية ال9690 الأوائل ليس مربعة ما عدا 1 و 0 و يتوقع أن يكون أول عدد أكبر من 1 أكبر من $10^{22166}$
كثافة الأعداد المخمسية المربعية اقل من كثافة الأعداد المربعية المثلثية.
الأعداد المخمسية المربعية الأوائل هي أعداد فردية رقم آحادها 1 في نظام العد العشاري. (سبب غير معرف).

مراجع

Pentagonal Square Number - from Wolfram MathWorld - تصفح: نسخة محفوظة 13 نوفمبر 2017 على موقع واي باك مشين.

موسوعات ذات صلة :

موسوعة رياضيات