قاطع (دالة)

في حساب المثلثات والتحليل الرياضي : دالة قاطع الزاوية (Secant)‏ هي إحدى التوابع المثلثية التي تتبع قيمة زاوية ويرمز له بـ : ${\displaystyle {\sec(x)}}$، ويمثل القاطع مقلوب قيمة جيب التمام أي ${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$. ^[2]أي أنه إذا كانت لدينا زاوية ضمن مثلث قائم فإن قاطع هذه الزاوية يساوي نسبة طول الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية.

القاطع
تمثيل دالة القاطع في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
ترميز	${\displaystyle {\sec(x)}}$
تعريف الدالة	${\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}$
دالة عكسية	${\displaystyle {\operatorname {arcsec}(x)}}$
مشتق الدالة	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {sin} \,x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x}$$ [1]
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle {\begin{aligned}{\ln |\sec(x)+\tan(x)|}\\=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\end{aligned}}}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	زوجية
مجال الدالة	${\displaystyle \mathbb {R} -\left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}}$
المجال المقابل	${\displaystyle ]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [}$
دورة الدالة	2π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
القيمة/النهاية عند ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$	على اليمين: -∞ على اليسار: +∞
القيمة/النهاية عند ${\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$	على اليمين: +∞ على اليسار: -∞
خطوط مقاربة	${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$
نقاط حرجة	${\displaystyle k\pi }$
ملاحظات	${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

إن القاطع هو دالة مثلثية فرعية نسبية إلى كون الدوال الرئيسية المعروفة هي الجيب وجيب التمام والظل.

يمكن التعبير عن قاطع الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle E_{n}}$ هو عدد أويلر و ${\displaystyle U_{n}}$ هو عدد Up/down.

اشتقاق

مشتق الدالة هو:^[1]

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin \,x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin \,x}{\cos x}}=\sec x\cdot \tan x.}$$

تكامل

تكامل الدالة لها ثلاثة أشكال متكافئة:

${\displaystyle \int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}}$

مراجع

مقالات ذات صلة

• قاطع التمام
• ظل التمام
• جيب التمام
• جيب الزاوية
• ظل الزاوية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة هندسة رياضية