مبرهنة ليوفيل Liouville s Theorem
إذا كانت f دالة كلية ومحددة لكل قيم Z في المستوي Z عندئذ تكون f دالة ثابتة.
البرهان
ليكن b, a أية نقطتين في المستوي Z ولتكن C دائرة مركزها a ونصف قطرها r بحيث باستعمال صيغة كوشي التكاملية الأولى ينتج:-
ولما كانت f (Z) محددة في المستوي Z فإنه يوجد عدد حقيقي موجب M بحيث | f (Z)|< M لكل Z داخل وعلى محيط الدائرة، ولما كان محيط الدائرة 2 ? r فإنه ينتج:
بموجب المتباينة الموجودة في مبرهنة سابقة.
والآن إذا جعلنا r ? ? نجد أن أي ان ولما كانت b, a أية نقطتين في المستوي Z
? تكون الدالة f ثابتة. وبهذا ينتهي البرهان.
مبرهنة موريرا Morera s Theorem
هي معكوس مبرهنة كوشي كورسا وتنص على :-
إذا كانت f دالة مستمرة في منطقة بسيطة الاتصال R وكان حيث C أي منحني بسيط مغلق يقع في R عندئذ تكون f تحليلية في R.
تمارين متنوعة
Q1/ Find
Q2/ Compute يوضح هذا المستقيم البياني أن المسافة تزداد خطياً منذ البداية بنسبة 60 كيلومتراً في كل ساعة. هذا يعني مثلاً أنه بعد مرور 3 ساعات من السير ستقطع السيارة 180 كيلومتراً. لاحظ أن الانحدار (slope) هنا أيضاً ثابت طيلة الرحلة. وهذا يعني أن العلاقة بين أي مسافة مقطوعة (?x) والمدة الزمنية اللازمة لفعل ذلك (?t) مساوية لستين. بعبارة أخرى، أن نقول بأن السيارة تقطع 50 متراً في كل ثلاث ثوان، أو كيلومتراً كل دقيقة، أو180 كيلومتراً كل ثلاث ساعات أو525600 كيلومتراً كل سنة، ... تدل على أمر واحد (ش. 15). ففي هذا المثال معدل التغير ثابت مع الزمن:
(الحرف الإغريقي دلتا (?) هو اختصار لعبارة "تغير في")
أنت تعرف طبعاً أنه عندما تنطلق السيارة من مربضها، فإنها لا تستطيع أن تقفز في لحظة من صفر إلى 60 كيلومتراً في الساعة، بل تحتاج لوقت معين لبلوغ هذه السرعة. فكلما يتم الضغط على دواسة البنزين ترتفع السرعة تدريجياً، وعادة يتم ذلك بمعدل ثابت (أي أن السائق في البداية يضغط بقوة على دواسة البزين لكي يستطيع الإسراع، ثم يخفف من الضغط تدريجياً). وفي أثناء سيرها ستُرَفِعُ السيارة سرعتها في طريق سريعة، أو تُخفف منها عند المنعرجات أو في زحمة المرور، كما ستتوقف عدة مرات عند ضوء مروري أحمر، وقد تغير إتجاهها أيضاً. في هذا المثال، نرى بأن معدل التغير (الذي تمثله السرعة) غير ثابت فهو يتغير مع الوقت. عندما نقوم في هذه الحالة بتمثيل العلاقة بين المسافة والزمن فإننا سنحصل على سبيل المثال على شيء يشبه المخطط أسفله (ش. 16). أنت ترى الآن أن الانحدار في هذا المنحنى يتغير من لحظة لأخرى في الزمن طوال المسار.