في الرياضيات، متراجحة المجموع لتشيبيشيف (Chebyshev's sum inequality) المسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف، تنص على ما يلي:
إذا توفر
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa03d9b4fa8588835dae536d8b4a23ee2bf70f9)
و
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2365287eac4662146947e3be79e915a7017ed3f6)
فإن
![{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d6a8849748c3055a5ca31db7110f9cc92efe8f)
وبشكل مشابه، إذا توفر
![{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8732e31bcf803f595309523c7a414356c4cbb448)
و
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2365287eac4662146947e3be79e915a7017ed3f6)
فإن
[1]
البرهان
ليكن المجموع التالي
![{\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccc5e11d0e1374a0ed66b64c0a7a9ad08867546)
The two sequences are non-increasing, therefore aj − ak and bj − bk have the same sign for any j, k. Hence S ≥ 0.
Opening the brackets, we deduce:
![{\displaystyle 0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5253e471d1a2f062d6d9445c734e6cf3b4ba050d)
whence
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)\,\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}b_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa258fbf2de637f60d8300d8ff07c4fbcf70e0e)
An alternative proof is simply obtained with the rearrangement inequality.
الصيغة المتصلة
هناك أيضا صيغة متصلة لمتراجحة المجموع لتشيبيشيف.
إذا كانت f وg دالتين ذات قيم حقيقية وقابلتين للتكامل على المجال [0,1], كلاهما تنازلي، أو كلاهما تصاعدي، فإن:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)g(x)dx\geq \int _{0}^{1}f(x)dx\int _{0}^{1}g(x)dx,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a281a59bca6ac0711549933d42d7aafe20ba675e)
with the inequality reversed if one is non-increasing and the other is non-decreasing.
مراجع
- Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge: Cambridge University Press. . MR = 0944909 0944909.
موسوعات ذات صلة :