متطابقة هامة

من الدرجة الأولى

☰ جدول المحتويات

نبذة تمهيدية
متطابقات هامة من الدرجة الثانية
متطابقات هامة متنوعة
متطابقة هامة من الدرجة n
- نظرية ذات الحدين لنيوتن
- أمثلة أخرى
ملاحظات
مراجع

الحل الهندسي للمتطابقة الهامة

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,

في الرياضيات، يطلق اسم المتطابقات الهامة أو المتساويات الهامة على بعض المتساويات التي تطبق على أعداد أو حدوديات. و هي تساعد على تسريع عمليات الحساب، تبسيط بعض الكتابات الجبرية، وكذا تحديد العوامل. تساعد المتطابقات الهامة كذلك في حل معادلة من الدرجة الثانية و إيجاد حلول المعادلات. ^[a] بينت معظم هذه المتطابقات الهامة بالحلول الهندسية ثم عوضت بقيم قوة أكبر عن طريق حسابات جبرية.

متطابقات هامة من الدرجة الثانية

في هذا القسم بأكمله، a و b عددان حقيقيان، أو عددان عقديان. هذه المتطابقات الهامة صحيحة في حلقة تبادلية، حيث a و b متبادلان.

خاصيات

المتطابقات الهامة من الدرجة الثانية هي^[2] :

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

المتطابقة الهامة الثانية يمكن أخذها حالة خاصة من المتطابقة الهامة الأولى، مع اعتبار، أنه تم تعويض (b) بـ (b–) في المتساوية الأولى. حسب القاعدة نستنج الخاصية التالية:

تعريف جداء هام:

تسمى التعابير الثلاثة التالية جداء هاما

(a+b)^{2}{\text{;}}\quad (a-b)^{2}{\text{;}}\quad (a-b)(a+b).

—^[2]

و نستنتج أيضا :

تعريف مجموع هام:

تسمى التعابير الثلاثة التالية مجموعا هاما

a^{2}+2ab+b^{2};\quad a^{2}-2ab+b^{2};\quad a^{2}-b^{2}.

—^[2]

أمثلة

النشر والتعميل

تساعد المتطابقات الهامة على تحويل كتابات بعض التعابير الجبرية، كما في المثال التالي:^[3] :

A=(2x-3)^{2}+(x+5)(3-x).

التعبير A هو مجموع عمليتين جبريتين. العملية الأولى تعتبر جداء هاما، يمكن تحويلها إلى جمع:

(2x-3)^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 3+3^{2}=4x^{2}-12x+9\quad {\text{;}}\quad A=4x^{2}-12x+9+(x+5)(3-x).

يعتمد حل المقطع الثاني على عملية النشر:

(x+5)(3-x)=x(3-x)+5(3-x)=3x-x^{2}+15-5x=-x^{2}-2x+15.

بجمع العمليتين نحصل على النتيجة

$A=4x^{2}-12x+9-x^{2}-2x+15=3x^{2}-14x+24.$

المعادلات من الدرجة الثانية

مقالة مفصلة: معادلة من الدرجة الثانية

تمكن المتطابقات الهامة من حل معادلات من الدرجة الثانية. نعتبر المثال التالي:

x^{2}+2x-5=0.

لحل المعادلة نقوم بحل الجانب الذي لا يحتوي على مجاهيل وذلك باستخراج عدد آخر.

x^{2}+2x-5=x^{2}+2x+1-6.

الأعداد الثلاثة الأولى الآن تشكل مجموعا هاما، يمكن تطبيق المتطابقة الهامة بحيث تصبح المعادلة على شكل:

x^{2}+2x-5=(x+1)^{2}-6=(x+1)^{2}-({\sqrt {6}})^{2}=0.

نستنتج الآن مجموعا هاما جديدا بحيث تكتب المعادلة على شكل:

x^{2}+2x-5=(x+1+{\sqrt {6}})(x+1-{\sqrt {6}})=0.

الجداء a.b لعددين a و b يكون منعدما إذا وفقط إذا كان a أو b منعدما. ^[b]. حل المعادلة يؤول إلى حل معادلتين من الدرجة الأولى:

(1)\;x+1+{\sqrt {6}}=0\quad {\text{;}}\quad (2)\;x+1-{\sqrt {6}}=0.

نجد حلي المعادلة، التي تسمى أيضا جذر الحدودية:

$x_{1}=-1-{\sqrt {6}}\quad {\text{;}}\quad x_{2}=-1+{\sqrt {6}}.$

متعددات حدود مرفوعة إلى الدرجة الثانية

خاصية:

لرفع حدودية ذات حدود متعددة إلى الدرجة الثانية، فقط يتم جمع مربع كل حد في الحدودية مع ضعف مجموع الجداءات الممكنة بين الحدود
—مثال:

(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc),

(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

متطابقات هامة متنوعة

متطابقة أويلر للمربعات الأربعة

متطابقة المربعات الأربعة لأويلر تصل بينها ثمانية أعداد وتأخذ الشكل التالي:

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})

=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}

+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.

متطابقة صوفي جيرمين

متطابقة صوفي جرمين تنص على أن لكل عدد $x$ و $y$ ، لدينا:

x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2}-2xy)(x^{2}+2y^{2}+2xy)=((x+y)^{2}+y^{2})((x-y)^{2}+y^{2}).

متطابقة جون روبرت أرغاند

(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1.

متطابقة كارل فريدريك غوس

a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}].

متطابقات أدريان لوجاندر

(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}),

(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab,

(a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2}).

متطابقات جوزيف لاغرانج

(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2},

(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}.