[1]
الحل الهندسي للمتطابقة الهامة
في الرياضيات، يطلق اسم المتطابقات الهامة أو المتساويات الهامة على بعض المتساويات التي تطبق على أعداد أو حدوديات. و هي تساعد على تسريع عمليات الحساب، تبسيط بعض الكتابات الجبرية، وكذا تحديد العوامل. تساعد المتطابقات الهامة كذلك في حل معادلة من الدرجة الثانية و إيجاد حلول المعادلات. [a]
بينت معظم هذه المتطابقات الهامة بالحلول الهندسية ثم عوضت بقيم قوة أكبر عن طريق حسابات جبرية.
متطابقات هامة من الدرجة الثانية
في هذا القسم بأكمله، a و b عددان حقيقيان، أو عددان عقديان.
هذه المتطابقات الهامة صحيحة في حلقة تبادلية، حيث a و b متبادلان.
خاصيات
المتطابقات الهامة من الدرجة الثانية هي[2] :
|
المتطابقة الهامة الثانية يمكن أخذها حالة خاصة من المتطابقة الهامة الأولى، مع اعتبار، أنه تم تعويض (b)
بـ (b–) في المتساوية الأولى.
حسب القاعدة نستنج الخاصية التالية:
تعريف جداء هام:
تسمى التعابير الثلاثة التالية جداء هاما
—[2] |
و نستنتج أيضا :
تعريف مجموع هام:
تسمى التعابير الثلاثة التالية مجموعا هاما
—[2] |
أمثلة
النشر والتعميل
تساعد المتطابقات الهامة على تحويل كتابات بعض التعابير الجبرية، كما في المثال التالي:[3] :
التعبير A هو مجموع عمليتين جبريتين. العملية الأولى تعتبر جداء هاما، يمكن تحويلها إلى جمع:
يعتمد حل المقطع الثاني على عملية النشر:
بجمع العمليتين نحصل على النتيجة
|
المعادلات من الدرجة الثانية
تمكن المتطابقات الهامة من حل معادلات من الدرجة الثانية. نعتبر المثال التالي:
لحل المعادلة نقوم بحل الجانب الذي لا يحتوي على مجاهيل وذلك باستخراج عدد آخر.
الأعداد الثلاثة الأولى الآن تشكل مجموعا هاما، يمكن تطبيق المتطابقة الهامة بحيث تصبح المعادلة على شكل:
نستنتج الآن مجموعا هاما جديدا بحيث تكتب المعادلة على شكل:
الجداء a.b لعددين a و b يكون منعدما إذا وفقط إذا كان a أو b منعدما. [b]. حل المعادلة يؤول إلى حل معادلتين من الدرجة الأولى:
نجد حلي المعادلة، التي تسمى أيضا جذر الحدودية:
|
متعددات حدود مرفوعة إلى الدرجة الثانية
خاصية:
لرفع حدودية ذات حدود متعددة إلى الدرجة الثانية، فقط يتم جمع مربع كل حد في الحدودية مع ضعف مجموع الجداءات الممكنة بين الحدود —مثال:
|
متطابقات هامة متنوعة
متطابقة أويلر للمربعات الأربعة
متطابقة المربعات الأربعة لأويلر تصل بينها ثمانية أعداد وتأخذ الشكل التالي:
متطابقة صوفي جيرمين
متطابقة صوفي جرمين تنص على أن لكل عدد x و y، لدينا:
متطابقة جون روبرت أرغاند
متطابقة كارل فريدريك غوس
متطابقات أدريان لوجاندر
متطابقات جوزيف لاغرانج
متطابقة هامة من الدرجة n
نظرية ذات الحدين لنيوتن
نفس التقنية المتبعة في المتطابقة الهامة ذات الدرجة 2. ليكن a و b عددين حقيقيين:
بطريقة أخرى:
بنفس الطريقة:
كذلك يمكن جعلها على أي درجة n باستعمالنظرية ذات الحدين أو نظرية حد الكرخي — نيوتن
معاملات التعبير المعتبر كحدودية في x و في y تدعى معاملات ثنائية. حتى وإن كان y عددا سالبا، فإنه نحصل على نفس التعابير أعلاه.
أمثلة أخرى
- متطابقات هامة من الدرجة الثانية
- متطابقات هامة من الدرجة الثالثة
- متطابقات هامة من الدرجة الرابعة
- متطابقات هامة من الدرجة الخامسة
- متطابقات هامة من الدرجة السادسة
- متطابقات هامة من الدرجة السابعة
ملاحظات
مراجع
موسوعات ذات صلة :