معادلة جرايمان

في نظرية التحكم، معادلة جرايمان Cross Gramian هي مصفوفة جرايمانية تستخدم لتحديد قابلية التحكم وقابلية الملاحظة لأي نظام خطي.^[1][2]

لكل نظام مستقل زمنيًا (منظومة رصينة) يكون:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu\,}$

${\displaystyle y=Cx\,}$

وبالتالي يكون شكل المعادلة:

${\displaystyle W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,}$

وباستخدام معادلة سيلفستر:

${\displaystyle AW_{X}+W_{X}A=-BC\,}$

يكون كل من ${\displaystyle (A,B,C)}$ قابلين للتحكم وللملاحظة. إذا كان المصفوفة ${\displaystyle W_{X}}$ مصفوفة قابلة للعكس.
إذا كان المنظومة ${\displaystyle (A,B,C)}$ متماثلة، فإنه يمكن صياغتها بالشكل التالي:

${\displaystyle AJ=JA^{T}\,}$

${\displaystyle B=JC^{T}\,}$

وبالتالي فإن القيمة المطلقة للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية تساوي ^[3]:

${\displaystyle |\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,}$

ملاحظة

يتم التعبير عن معادلة جرايمان بالرمز ${\displaystyle W_{CO}}$ .

مقالات ذات صلة

• قابلية التحكم لجرايمان
• قابلية ملاحظة لجرايمان
• معادلة أبيل

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات