نعومة دالة

مثال لدالة ناعمة رتبتها ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}$ بحامل متراص

درجة قابلية الاشتقاق^[1] دالة معينة (Differentiability Class)‏ وتعرف أيضا بنعومة الدالة (بالإنجليزية: Smoothness)، أو رتبة الانتظام في المراجع الفرنسية (Classe de régularité)^[2]، هي خاصية في التحليل الرياضي لوصف دوال تقبل اشتقاقات متتالية إلى رتبة معينة وتكون متصلة.^[3]

الدالة التي تحقق هذه الخاصية (إلى ما لانهاية من الرتب) تسمى بالدالة الناعمة وفي المراجع الفرنسية بالدالة الملساء أو المنتظمة.

تعريف

باعتبار مجال ${\displaystyle J\subset \mathbb {R} }$ وعدد صحيح ${\displaystyle k\geq 1}$، تعرف فضاءات الدوال التالية:

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J,\mathbb {R} )}$: مجموعة الدوال المتصلة من ${\displaystyle J}$ نحو ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$: مجموعة الدوال من ${\displaystyle J}$ نحو ${\displaystyle \mathbb {R} }$ القابلة للاشتقاق حتى الرتبة ${\displaystyle k}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$: جزء ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ المكون من الدوال القابلة للاشتقاق حتى الرتبة ${\displaystyle k}$ ومشتقاتها من هذه الرتبة متصلة.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}$ (وهي تكافئ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}$): مجموعة الدوال من ${\displaystyle J}$ نحو ${\displaystyle \mathbb {R} }$ القابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية، وهي تعرف بالدوال الملساء أو المنتظمة.

كل مجموعة من هذه المجموعات جبر على حقل وهي بالتالي فضاءات متجهية على ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

بما أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال فإن هذه المجموعات تحقق تراتبية التضمين التالية:

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J)\supset {\mathcal {D}}^{1}(J)\supset {\mathcal {C}}^{1}(J)\supset {\mathcal {D}}^{2}(J)\supset {\mathcal {C}}^{2}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{\infty }(J)}$

حالة الدوال المتعددة التعريف

في حالة الدوال المتعددة التعريف، تعرف المجموعات التالية:

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{0}(J)}$: مجموعة الدوال المتعددة التعريف.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)}$: جزء ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ المكون من دوال تكون مشتقاتها من الرتبة ${\displaystyle k}$ متصلة على قطع.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{k}(J)}$: جزء من ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ مكون من الدوال ذوات الحوامل المتراصة ضمن مجموعة مفتوحة في ${\displaystyle J}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(J)}$: جزء من ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}$ مكون من الدوال ذوات الحوامل المتراصة ضمن مجموعة مفتوحة في ${\displaystyle J}$.

هذه المجموعات تحقق تراتبية التضمين التالية:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}_{0}^{k}(J).}$

أمثلة

الدالة مقلوب هي دالة ناعمة لأن لها عدد غير منته من المشتقات.^[4]

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle f'(x)=\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {-2x}{(x^{2})^{2}}}\right)}$

ثم تستمر المشتقات إلى ${\displaystyle +\infty }$

مراجع

1- Classe de régularité

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة رياضيات