Notations et relations utilisées

On utilise les notations conformes à la norme ISO/CEI 80000-2^[7]

• Les caractères en gras sans serif comme ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$ désignent des tenseurs.
• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}={\frac {\partial }{\partial x}}{\vec {u_{x}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\vec {u_{y}}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\vec {u_{z}}}}$ est l'opérateur nabla exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\vec {u_{x}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\vec {u_{y}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\vec {u_{z}}}}$ est l'opérateur gradient exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={{\partial A_{x}} \over \partial x}+{{\partial A_{y}} \over \partial y}+{{\partial A_{z}} \over \partial z}}$ est l'opérateur divergence exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\bigg (}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}{\bigg )}{\vec {u_{x}}}+{\bigg (}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\bigg )}{\vec {u_{y}}}+{\bigg (}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\bigg )}{\vec {u_{z}}}}$ désigne l'opérateur rotationnel exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. Il est parfois noté ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}}$.
• ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\phi )=\Delta \phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$ est l'opérateur laplacien exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
• ${\displaystyle \Delta {\vec {A}}}$ est le laplacien vectoriel, soit le vecteur dont chaque composante est le laplacien de la même composante de ${\displaystyle {\vec {A}}}$.

Note : ${\displaystyle \Delta {\vec {A}}}$ diffère de ${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}{\vec {A}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})}$. Toutefois, ${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=\Delta {\vec {A}}}$ ne prête plus à confusion.

• Le produit dyadique de deux vecteurs s'écrit

${\displaystyle {\mathsf {T}}={\vec {A}}{\vec {B}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}^{T}}$

où × est le produit matriciel.

• Le produit doublement contracté : est l'opérateur défini par :

${\displaystyle \alpha ={\mathsf {T}}_{1}:{\mathsf {T}}_{2}={\textrm {Tr}}({\mathsf {T}}_{1}\cdot {\mathsf {T}}_{2}^{T})}$

où Tr représente l'opérateur trace.

Quelques identités vectorielles utiles pour cet article (les deux dernières généralisent la notion de divergence aux tenseurs de rang deux) :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\,\phi )&=&0\\[0.2em]{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})&=&0\\[0.2em]({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})\times {\vec {A}}&=&({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }})\,{\vec {A}}-{\vec {\nabla }}A\,{\vec {A}}\\[0.2em]{\vec {\nabla }}A\,{\vec {A}}&=&{\frac {1}{2}}\,{\vec {\nabla }}\,({\vec {A}}\cdot {\vec {A}})\\[0.2em]{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\phi )&=&{\vec {\nabla }}^{2}\phi \\[0.2em]{\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})&=&{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}\\[0.2em]{\vec {\nabla }}\cdot (\alpha \,{\mathsf {T}}\,)&=&{\vec {\nabla }}\alpha \cdot {\mathsf {T}}\,+({\vec {\nabla }}\cdot {\mathsf {T}}\,)\,\alpha \\[0.2em]{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}{\vec {B}})&=&({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }})\,{\vec {A}}+{\vec {A}}\,({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}})\\[0.2em]\end{array}}}$

Loi de conservation

On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive ${\displaystyle \Phi }$ de densité ϕ entraînée à la vitesse ${\displaystyle {\vec {V}}}$ et comportant un terme de production volumique S par :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\phi {\vec {V}})=S}$.

Formulation eulérienne

La formulation la plus utilisée fait appel à un référentiel fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux variables eulériennes.

On obtient les équations de Navier-Stokes en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique ρ, à la quantité de mouvement ${\displaystyle \rho \,{\vec {V}}}$ et à l'énergie totale ρ E^[8].

• Équation de continuité (équation de bilan de la masse)

  ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {V}})=0}$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement

  ${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dfrac {\partial (\rho {\vec {V}})}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {V}}{\vec {V}}\right)&=&{\vec {\nabla }}\cdot {\mathsf {P}}+\rho {\vec {g}}\\[0.5em]&=&-{\vec {\nabla }}p+{\vec {\nabla }}\cdot {\mathsf {\Sigma }}+\rho {\vec {g}}\end{array}}}$

• Équation de bilan de l'énergie

  ${\displaystyle {\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho E{\vec {V}})={\vec {\nabla }}\cdot \left({\mathsf {P}}\cdot {\vec {V}}\right)+\rho {\vec {g}}\cdot {\vec {V}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {q}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {q}}_{R}}$

Dans ces équations :

• t représente le temps (unité SI : s) ;
• ρ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg m⁻³) ;
• ${\displaystyle {\vec {V}}}$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m s⁻¹) ;
• ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ désigne le tenseur des contraintes (ou tenseur de pression) qui, si on néglige le rayonnement, se décompose en :

${\displaystyle {\mathsf {P}}={\mathsf {\Sigma }}-p{\mathsf {I}}}$ ;

• ${\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}}$ désigne le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;
• ${\displaystyle {\mathsf {I}}}$ désigne le tenseur unité ;
• p désigne la pression thermodynamique (unité SI : Pa) ;
• ${\displaystyle {\vec {g}}}$ désigne la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI : m s⁻²) ;
• E désigne l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J kg⁻¹) ; elle s'exprime en fonction de l'énergie interne par unité de masse e par :

${\displaystyle E=e+{\frac {||{\vec {V}}||^{2}}{2}}}$ ;

• ${\displaystyle {\vec {q}}}$ désigne le flux de chaleur dû à la conduction thermique (unité SI : J m⁻² s⁻¹) ;
• ${\displaystyle {\vec {q}}_{R}}$ désigne le flux de chaleur dû au rayonnement (unité SI : J m⁻² s⁻¹).

Afin de clore le système il est nécessaire de décrire p, Σ, et ${\displaystyle {\vec {q}}}$ à partir d'hypothèses sur le fluide considéré. ${\displaystyle {\vec {q}}_{R}}$ est quant à lui l'objet d'un calcul de transfert radiatif éventuellement couplé à la résolution des équations de Navier-Stokes.

Quelques variations autour du système d'équations

• On peut exprimer différemment l'équation de quantité de mouvement en remarquant que :

${\displaystyle {\frac {\partial \left(\rho {\vec {V}}\right)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {V}}{\vec {V}}\right)=\rho \left[{\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {V}}\right]}$.

L'équation alors obtenue s'interprète comme la deuxième loi de Newton, en remarquant que le terme ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {V}}={\frac {D{\vec {V}}}{Dt}}}$ décrit l’accélération des particules du fluide.

• Il est possible d'exprimer la conservation de l'énergie sous forme équivalente en transférant au premier membre le terme correspondant à la pression :

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot [(\rho E+p){\vec {V}}]={\vec {\nabla }}\cdot \left({\mathsf {\Sigma }}\cdot {\vec {V}}\right)+\rho {\vec {g}}\cdot {\vec {V}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {q}}+{\vec {q}}_{R}}$.

Le terme ρ E + p peut être remplacé par ${\displaystyle \rho \left(h+{\frac {||{\vec {V}}||^{2}}{2}}\right)}$ où h = e + p/ρ est l'enthalpie massique.

• En multipliant scalairement l'équation de quantité de mouvement écrite comme ci-dessus par la vitesse on obtient une loi de conservation pour l'énergie cinétique :

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {||{\vec {V}}||^{2}}{2}}\right)+{\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}\left({\frac {||{\vec {V}}||^{2}}{2}}\right)\right]=({\vec {\nabla }}\cdot {\mathsf {P}})\cdot {\vec {V}}+\rho {\vec {g}}\cdot {\vec {V}}}$.

• En soustrayant cette équation de l'équation de conservation de l'énergie, en utilisant l'équation de conservation de la masse et l'identité

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot ({\mathsf {P}}\cdot {\vec {V}})-({\vec {\nabla }}\cdot {\mathsf {P}})\cdot {\vec {V}}={\vec {P}}:{\vec {\nabla }}{\vec {V}}}$,

on obtient l'équation suivante sur l'énergie interne par unité de masse :

${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial e}{\partial t}}+{\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}e\right)={\mathsf {P}}:{\vec {\nabla }}{\vec {V}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {q}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {q}}_{R}}$.

Formulation lagrangienne

Dans certains problèmes le domaine occupé par le fluide peut varier considérablement au cours du temps. Il s'agit donc de problèmes instationnaires. C'est le cas dans les problèmes d'explosion ou en astrophysique. On fait alors appel aux variables lagrangiennes définies dans le repère noté ξ. L'accélération de la particule fluide est donnée par la dérivée particulaire :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {\phi } }{\mathrm {D} t}}\,:=\left.{\frac {\partial \mathbf {\phi } }{\partial t}}\right|_{\xi }=\left.{\frac {\partial \mathbf {\phi } }{\partial t}}\right|_{x}+{\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}\mathbf {\phi } }$.

Le dernier terme de cette équation est le terme d'advection de la quantité ϕ. Celle-ci peut être scalaire, vectorielle ou tensorielle.

Pour la quantité de mouvement, la dérivée particulaire vaut :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dfrac {\mathrm {D} (\rho {\vec {V}})}{\mathrm {D} t}}=\left.{\dfrac {\partial (\rho {\vec {V}})}{\partial t}}\right|_{\xi }&=&\left.{\dfrac {\partial (\rho {\vec {V}})}{\partial t}}\right|_{x}+\left({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)(\rho {\vec {V}})\\[0.8em]&=&\left.{\dfrac {\partial (\rho {\vec {V}})}{\partial t}}\right|_{x}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {V}}{\vec {V}}\right)-\rho \left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}\right){\vec {V}}\end{array}}}$.

Les équations de conservation dans le système de coordonnées définies par ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial t}}={\vec {V}}}$ s'écrivent :

• Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}=0}$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement

  ${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} {\vec {V}}}{\mathrm {D} t}}=-{\vec {\nabla }}p+{\vec {\nabla }}\cdot {\mathsf {\Sigma }}+\rho {\vec {g}}}$

• Équation de bilan de l'énergie

  ${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} E}{\mathrm {D} t}}=-{\vec {\nabla }}\cdot \left(p{\vec {V}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot \left({\mathsf {\Sigma }}\cdot {\vec {V}}\right)+\rho {\vec {g}}\cdot {\vec {V}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {q}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {q}}_{R}}$

Expressions dans des systèmes de coordonnées

En utilisant l'expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions des équations.

Expressions des équations en compressible dans divers systèmes de coordonnées

Expression en coordonnées cartésiennes

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(\rho V_{i})&=&0\\[0.5em]{\frac {\partial \left(\rho V_{j}\right)}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\rho V_{i}V_{j}\right)&=&-{\frac {\partial p}{\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{i}}}+\rho f_{j}\\[0.5em]{\frac {\partial \left(\rho e\right)}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\left(\rho e+p\right)V_{i}\right]&=&\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\sigma _{ij}V_{j}\right)+\sum _{i=1}^{3}\rho f_{i}V_{i}-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial x_{i}}}+r\end{array}}}$

Expression en coordonnées cylindriques

${\displaystyle }$

Expression en coordonnées sphériques

${\displaystyle }$

Repère en translation et rotation

Il est parfois utile de décrire la dynamique des fluides dans un repère non galiléen, par exemple en physique de l'atmosphère ou pour décrire le mouvement d'un fluide dans un réservoir mobile, par exemple dans un lanceur.

On considère un repère orthonormé se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle \textstyle {\vec {U}}(t)}$ par rapport au repère fixe et ayant une vitesse de rotation ${\displaystyle \textstyle {\vec {\Omega }}(t)}$ dans celui-ci.

Pour un point situé en ${\displaystyle \textstyle {\vec {r}}}$ dans le repère mobile, la formule de Varignon s'écrit :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial t}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {r}}}$

Par dérivation, on obtient l'accélération apparente dans le repère mobile :

${\displaystyle {\vec {\Gamma }}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}=2{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {V}}+{\vec {\Omega }}\wedge \left({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} t}}\wedge {\vec {r}}}$

Le premier terme dans le crochet est l'accélération de Coriolis et le deuxième est le terme centripète. Le troisième correspond au déplacement du repère mobile :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}}$

Il existe donc un terme ${\displaystyle \textstyle \rho {\vec {\Gamma }}}$ à ajouter au premier membre de l'équation de la quantité de mouvement. Ce terme est d'ordre cinétique : il ne correspond pas à une force réelle et n'influence donc pas l'équation de conservation de l'énergie.

Gaz

Les propriétés de transport, viscosité et conductivité, résultent d'une distribution hors d'équilibre thermodynamique dans le milieu (ne satisfaisant pas la statistique de Maxwell-Boltzmann). On sait les exprimer en utilisant la méthode de Chapman-Enskog^[9].

La viscosité s'exprime sous la forme suivante :

${\displaystyle \mu =\alpha {\frac {\sqrt {MT}}{f(T)}}}$

où f (T) est une fonction lentement variable avec T, découlant du potentiel d'interaction moléculaire. La viscosité d'un gaz varie donc approximativement comme √T. Elle est indépendante de la pression.

La conductivité est étroitement liée à la viscosité :

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\mu }}=\left\{{\begin{array}{lcr}{\frac {5}{2}}C_{\mathcal {V}}\\[0.5em]C_{\mathcal {V}}+{\frac {15-6\chi }{4}}R\end{array}}\right.}$	pour un gaz monoatomique
	pour un gaz polyatomique

où ${\displaystyle C_{\mathcal {V}}=\left.{\frac {\partial e}{\partial T}}\right|_{\mathcal {V}}}$ est la capacité thermique massique à volume constant.

Dans cette expression χ = 1 correspond à la corrélation d'Eucken. La valeur exacte est plus proche de 1,3 en moyenne. Des calculs d'échanges au cours des collisions moléculaires permettent de préciser cette valeur, dépendante du gaz considéré et faiblement de la température.

Un mélange de gaz parfaits peut être traité comme un gaz unique en utilisant une approximation analytique (par exemple la loi de Sutherland) ou numérique du résultat du calcul des propriétés de ce mélange, qu'il s'agisse de la viscosité ou de la conductivité^[10].

Liquides

La connaissance théorique pour les liquides est beaucoup moins avancée que pour les gaz et les prédictions dans ce domaine qualitatives : la viscosité diminue avec la température^[9],[11]. La connaissance des valeurs repose sur les mesures.

La variation de la conductivité avec la température ne présente pas de tendance marquée^[12],[13].

Fluides incompressibles homogènes à viscosité constante

L'écoulement d'un fluide est dit incompressible et homogène lorsque l'on peut négliger ses variations de masse volumique. Cette hypothèse est vérifiée pour l'eau liquide à température fixe et les métaux en fusion. Elle est aussi vérifiée pour les gaz lorsque le nombre de Mach ${\displaystyle {\mathcal {M}}a}$ est faible. En général, on considère l'écoulement incompressible lorsque ${\displaystyle {\mathcal {M}}a<0{,}3}$. De plus ce type de problème se rencontre dans des situations où la variation de température dans le milieu est faible et où l'on peut donc considérer la viscosité constante. Ceci est particulièrement vrai dans des liquides comme l'eau (voir courbe ci-dessus). De ce fait l'équation de l'énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie. L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont considérablement simplifiées. On obtient alors

• Équation d'incompressibilité (se confondant avec l'équation de bilan de la masse pour un fluide homogène) :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}=0}$.

• Équation de bilan de la quantité de mouvement :

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }})\,{\vec {V}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu \,\nabla ^{2}{\vec {V}}+{\vec {g}}}$

où ν = μ/ρ désigne la viscosité cinématique du fluide (unité SI : m² s⁻¹).

Le membre de gauche reflète l’accélération des particules du fluide.

Cette forme plus simple des équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible permet d'obtenir des solutions analytiques dans quelques cas :

• dans un tube cylindrique avec une différence de pression entre l'entrée et la sortie (écoulement de Poiseuille) ;
• entre deux plans dont l'un est en mouvement permanent par rapport à l'autre (écoulement de Couette) ;
• le jet de Landau-Squire, un exemple d'écoulement auto-similaire ;
• les écoulements potentiels en point d'arrêt comme l'écoulement de Hiemenz ;
• le tourbillon de Taylor-Green utilisé pour les benchmarks de méthodes de résolution numérique ;
• le tourbillon de Lamb-Oseen.

Il existe quelques autres exemples de solutions analytiques^{[14],[15],[16],[17]}.

En utilisant l'expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions.

Sous certaines hypothèses, on peut simplifier ces équations :

• en négligeant le terme inertiel ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {V}}{\vec {V}}\right)}$ du cas général (qui est égal à ${\displaystyle ({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }})\,{\vec {V}}}$ dans le cas incompressible), ce qui conduit à l'équation de Stokes,
• en utilisant une approximation de ce terme, ce qui conduit aux équations de Stokes-Oseen.

D’autre part, une expression de la pression peut être obtenue en prenant la divergence de l'équation de quantité de mouvement et en tenant compte de la relation d'incompressibilité :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}p=-\rho \,{\vec {\nabla }}\cdot [{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {V}}{\vec {V}})]+\rho \,{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {g}}}$.

Écoulements irrotationnels

On définit le vecteur tourbillon (ou la vorticité) par :

${\displaystyle {\vec {\Omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {V}}}$

où ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {V}}}$ désigne le rotationnel de la vitesse.

On peut établir une équation de conservation pour cette quantité qui est l'équation de Helmholtz.

En partant de l'équation de quantité de mouvement du chapitre précédent avec l’hypothèse de Stokes, les identités vectorielles

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {V}}&=&({\vec {\nabla }}\times {\vec {V}})\times {\vec {V}}+{\vec {\nabla }}V\,{\vec {V}}\\[0.5em]{\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {V}})&=&{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})-\nabla ^{2}{\vec {V}}\end{array}}}$

permettent d’obtenir la forme suivante :

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+{\vec {\Omega }}\times {\vec {V}}+{\vec {\nabla }}V\,{\vec {V}}\right)=-{\vec {\nabla }}p+\rho \,{\vec {g}}+\mu \left({\frac {4}{3}}\,{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})-{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Omega }}\right)}$.

Supposons que le vecteur tourbillon est nul. Dans ce cas^{[alpha 2]} :

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}V\,{\vec {V}}\right)=-{\vec {\nabla }}p+\rho \,{\vec {g}}+{\frac {4}{3}}\,\mu \,{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})}$.

Dans ce cas toujours, puisque la vitesse ${\displaystyle {\vec {V}}}$ est un champ irrotationnel, on peut déduire qu'elle dérive d'un potentiel que l'on note ψ :

${\displaystyle {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\psi }$.

En particulier dans le cas incompressible, si on reporte cette expression dans l'équation d'incompressibilité, le potentiel obéit à l'équation de Laplace :

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$.

Si, de plus, le fluide est homogène et que la force ${\displaystyle {\vec {g}}}$ dérive d'un potentiel, par exemple la gravité, alors la propriété d'irrotationalité est automatiquement propagée en temps grâce à l'équation vérifiée par la vitesse.

Ces écoulements potentiels concernent les écoulements à faibles vitesses et peu visqueux : une voile de bateau ou une aile de planeur par exemple.

Équations adimensionnelles

Les équations de Navier-Stokes font intervenir 9 quantités ${\displaystyle \rho ,\,{\vec {V}},\,p,\,e,\,T,\,\mu ,\,{\vec {g}},\,{\vec {q}}_{R}}$, et 4 dimensions : temps, espace, masse, température. Le théorème de Vaschy-Buckingham montre donc l'existence de 5 variables adimensionnelles permettant l'analyse du système. Ces variables sont par exemple les nombres de Mach, Reynolds, Prandtl, Froude et Goulard. Il existe d'autres variables comme les nombres de Knudsen, de Strouhal, de Péclet ou beaucoup d'autres, mais celles-ci ne sont pas indépendantes. Les nombres de Mach, Reynolds et Knudsen par exemple sont liés entre eux, de même que les nombres de Péclet, Prandtl et Reynolds. Pour écrire ces nombres il faut définir des quantités de référence qui sont caractéristiques du problème étudié. Définissons les variables suivantes servant de références :

• une longueur L^*, par exemple la taille du domaine ouvert dans un problème de milieu poreux ou de microfluidique ou le rayon de courbure de paroi en aérodynamique,
• une vitesse V^*, une masse volumique ρ^* et une température T^*, par exemple les valeurs en amont (condition aux limites), d'où on déduit une pression ${\displaystyle p^{*}=\rho ^{*}{\frac {R}{M}}T^{*}}$,
• une seconde vitesse a^* pour la propagation des ondes sonores, par exemple ${\displaystyle a^{*}={\sqrt {\gamma ^{*}{\frac {R}{M}}T^{*}}}}$ pour un gaz parfait,
• une énergie interne e^*, par exemple ${\displaystyle e^{*}={\frac {p^{*}}{(\gamma ^{*}-1)\rho ^{*}}}={\frac {{a^{*}}^{2}}{\gamma ^{*}(\gamma ^{*}-1)}}}$ pour un gaz parfait,
• une viscosité μ^* et une conductivité λ^* éventuellement liée à μ^* (voir propriétés de transport),
• une accélération g^*,
• un flux radiatif q_R^*.

On peut alors définir pour ce problème les variables réduites suivantes :

- espace	${\displaystyle {\vec {\tilde {x}}}={\frac {\vec {x}}{L^{*}}}}$			- temps	${\displaystyle {\tilde {t}}={\frac {V^{*}}{L^{*}}}\,t}$		- masse volumique	${\displaystyle {\tilde {\rho }}={\frac {\rho }{\rho ^{*}}}}$		- pression	${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p}{\rho ^{*}{a^{*}}^{2}}}}$
- viscosité	${\displaystyle {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu ^{*}}}}$			- énergie interne	${\displaystyle {\tilde {e}}={\frac {e}{e^{*}}}}$		- flux radiatif	${\displaystyle {\vec {\tilde {q}}}_{R}={\frac {{\vec {q}}_{R}}{q_{R}^{*}}}}$		- conductivité	${\displaystyle {\tilde {\lambda }}={\frac {\lambda }{\lambda ^{*}}}}$
- vitesse	${\displaystyle {\vec {\tilde {V}}}={\frac {\vec {V}}{V^{*}}}}$

et les variables adimensionnelles :

- le nombre de Mach	${\displaystyle {\mathcal {M}}a={\frac {V^{*}}{a^{*}}}}$
- le nombre de Reynolds	${\displaystyle {\mathcal {R}}e={\frac {\rho ^{*}V^{*}L^{*}}{\mu ^{*}}}}$
- le nombre de Prandtl	${\displaystyle {\mathcal {P}}r={\frac {\mu ^{*}C_{P}^{*}}{\lambda ^{*}}}}$
- le nombre de Froude	${\displaystyle {\mathcal {F}}r={\frac {{V^{*}}^{2}}{g^{*}L^{*}}}}$
- le nombre de Goulard	${\displaystyle {\mathcal {G}}={\frac {2q_{R}^{*}}{\rho ^{*}{V^{*}}^{3}}}}$

Le système d'équations en valeurs réduites s'écrit comme suit.

• Conservation de la masse :

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\vec {\nabla }}_{\tilde {x}}\cdot ({\tilde {\rho }}\,{\vec {\tilde {V}}})=0}$

où ${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\tilde {x}}=L^{*}{\vec {\nabla }}}$ est l'opérateur nabla adimensionné utilisé dans le système de coordonnées transformé.

• Conservation de la quantité de mouvement :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}({\tilde {\rho }}{\vec {\tilde {V}}})+{\vec {\nabla }}_{\tilde {x}}\cdot ({\tilde {\rho }}\,{\vec {\tilde {V}}}{\vec {\tilde {V}}})=-{\frac {1}{\gamma ^{*}{\mathcal {M}}a^{2}}}{\vec {\nabla }}_{\tilde {x}}\,{\tilde {p}}+{\frac {1}{{\mathcal {R}}e}}{\vec {\nabla }}_{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathsf {\Sigma }}}+{\frac {1}{{\mathcal {F}}r}}\,{\tilde {\rho }}\,{\vec {\tilde {g}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathsf {\Sigma }}}={\tilde {\mu }}\left[{\vec {\nabla }}_{\tilde {x}}{\vec {\tilde {V}}}+({\vec {\nabla }}_{\tilde {x}}{\vec {\tilde {V}}})^{T}-{\frac {2}{3}}({\vec {\nabla }}_{\tilde {x}}\cdot {\vec {\tilde {V}}})\,{\mathsf {I}}\right]}$.