Procédure

Le jeu de pile ou face permet d'aider à la décision d'un choix binaire. La méthode la plus courante pour lancer une pièce est de positionner horizontalement sur le bout du pouce et la tranche de l'index^[12]. Il suffit alors d'exercer une extension du pouce afin de donner un mouvement de rotation à la pièce^{[note 2]}, la pièce doit réaliser au moins une rotation entière en l'air^[13]. D'après une étude statistique^[14], le nombre moyen de retournements de pièce pour un pile ou face typique est de 19. On laisse la pièce retomber au sol ou alors on la rattrape et la positionne horizontalement sur le dos de l'autre main. Dans tous les cas c'est le côté supérieur de la pièce qui donne le résultat.

Il est courant de parier sur pile ou sur face avant le lancer de pièce. On peut également parier pendant que la pièce est en l'air, ce qui évite toute tentative de tricherie de la part du lanceur.

En sport

Lancer de pièce au début du match de football américain du Pro Bowl 2013.

Dans plusieurs sports tels que le badminton, le cricket, le football américain, le handball, ou encore le rugby à XV, avant le coup d'envoi d'une partie, l'équipe gagnante au pile ou face peut choisir l'équipe qui engage ou le côté du terrain. Le tirage au sort par pile ou face peut également servir à déterminer un vainqueur ou un qualifié, lorsque toutes les possibilités de départage (comme rejouer un match par exemple) ou autres critères (comme la différence de buts, etc.) prévus par le règlement ont été épuisés et n'ont pas permis de séparer les équipes à égalité.

En 1919, le premier président du club de football espagnol Valence CF a été choisi au jeu de pile ou face. Après 7 h 35 d'un match de ping-pong, Marin Goldberger a été désigné vainqueur par un pile ou face au championnat du monde en 1936. De 1966 à 1985, lors de la Draft de la NBA, les équipes de basket-ball utilisent des jeux de pile ou face pour l'obtention du premier choix de joueur.

En football, avant l'introduction de la règle des tirs au but au début des années 1970, il n'était pas rare de voir des qualifications se décider à la « pièce » lors de rencontres à élimination directe. En 1963, lors des huitièmes de finale de la coupe des clubs champions disputés en matchs aller-retour, les équipes du Galatasaray et du FC Zurich, après avoir chacune remporté sur le même score son match à domicile, s'affrontent en match d'appui et terminent à égalité à la fin de la prolongation : le FC Zurich se qualifie au pile ou face. En demi-finale de la coupe de France de 1967, après trois matchs nuls après prolongation entre les équipes de Lyon et d'Angoulême, le nombre maximum de matchs rejoués prévu par le règlement étant atteint, c'est à pile ou face que les Lyonnais obtiennent leur qualification. À l'échelon des compétitions majeurs internationales, la Turquie obtient notamment sa qualification pour la Coupe du monde 1954 à pile ou face aux dépens de l'Espagne. En demi-finale du Championnat d'Europe 1968, l'Italie, à domicile, obtient sa qualification pour la finale à pile ou face après un match nul après prolongation contre l'URSS.

Jeux

Jeux sans mise

Pièce utilisée comme dé à deux côtés ou « D2 ».

Certains jeux utilisent la notion de hasard binaire (oui/non, accepté/refusé, gagnant/perdant par exemple) pendant leur déroulement. Ce sont généralement des jeux de rôle dans lesquels des actions ou évènements sont laissés au hasard d'un jeu de pile ou face. Citons par exemple le jeu Magic : l'assemblée dans lequel certaines cartes demandent la réalisation d'un jeu de pile ou face^[18].

Pour les choix multiples (supérieurs à trois possibilités), des dés multifaces sont généralement utilisés (1d6 signifie jeter un dé à six côtés). 1d2 signifie donc faire un jeu de pile ou face. Certains « dés à deux côtés » ont alors la forme d'une pièce^[19].

Citons, par exemple, le jeu Prince Valiant qui n'utilise que des pièces.

Concept et anecdotes

Blaise Pascal.

L'idée du jeu de pile ou face, c'est-à-dire d'une expérience aléatoire dont le résultat est un succès ou un échec, permet d'illustrer le concept d'un choix aléatoire. Blaise Pascal, dans ses Pensées, utilise la métaphore du jeu de pile ou face pour illustrer son fameux pari :

« Examinons donc ce point et disons : Dieu est, ou il n’est pas. Mais de quel côté pencherons-nous ? La raison n’y peut rien déterminer. Il y a un chaos infini qui nous sépare. Il se joue un jeu, à l’extrémité de cette distance infinie, où il arrivera croix ou pile : que gagerez-vous ? [...] Pesons le gain et la perte, en prenant croix que Dieu est. Estimons ces deux cas : si vous gagnez, vous gagnez tout ; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu’il est sans hésiter ! »

— Blaise Pascal ^[21] - ^{[note 6]}

Le jeu de pile ou face est utilisé pour consulter le système de divination Yi Jing. La valeur 2 est assignée à pile et 3 à face^[22], on effectue alors la somme des résultats sur trois lancers de pièce. Dans un domaine plus scientifique, les différents pas d'une marche aléatoire sont donnés par le résultat d'un jeu de pile ou face. Il est utilisé comme métaphore en mécanique quantique : le résultat de l'expérience du chat de Schrödinger est déterminé par « un jeu de pile ou face dont le résultat est inconnu avant l'ouverture de la boîte »^[23].

En 1851, un pile ou face détermine si une nouvelle ville dans l'Oregon sera nommée d'après Boston ou Portland, Portland gagne.

En 1939, Bill Hewlett et Dave Packard ont parié à pile ou face si leur société allait s’appeler Hewlett-Packard ou Packard-Hewlett^[24].

Le soir de leur passage au Monterey Pop Festival en 1967, pour savoir qui des Who ou de The Jimi Hendrix Experience passerait avant l'autre, il fallut tirer à pile ou face, et les Who gagnèrent.

En 1968, Roland Moreno invente une machine à tirer à pile ou face, la « Matapof »^[25].

En 1970, l'éleveur Ogden Phipps et le couple Christopher et Penny Chenery jouent à pile ou face le droit de choisir un des trois poulains de l'étalon Bold Ruler. Les perdants au jeu deviendront propriétaires d'un des plus grands champions de l'histoire des courses : le pur-sang anglais Secretariat.

En 1987, Corynne Charby interpréta la chanson « Pile ou face » composée par Franck Yvi et Jean-Louis D'Onorio. Cette chanson fut reprise par Emmanuelle Béart en 2002 dans le film Huit femmes de François Ozon. Le thème de la chanson est de « vivre sa vie à pile ou face », c'est-à-dire de laisser le hasard décider.

En 2007, un juge américain a été destitué après avoir décidé à pile ou face qui, du père ou de la mère, avait le droit de passer Noël avec leur enfant^[26].

Le guide des circonscriptions du parti démocrate de l'Iowa prévoit que lorsqu'il y a égalité entre deux candidats, le choix devait être fait au pile ou face. Cette situation est apparue six fois en 2016 lors de la primaire de l'élection présidentielle^[27].

En fiction

Certains personnages de film sont associés au jeu du pile ou face, ce dernier devenant parfois même l'identité du personnage. Dans le film américain Scarface, sorti en 1932 et réalisé par Howard Hawks, le personnage Guino Rinaldo, joué par George Raft, est un gangster jouant constamment à pile ou face. Ce personnage fut parodié par Bugs Bunny dans le dessin animé Racketeer Rabbit en 1946. George Raft parodia son propre personnage dans la comédie Certains l'aiment chaud de Billy Wilder, avec le personnage de Spats Colombo. Spats rencontre un gangster rival jouant à pile ou face, il lui demande « Où as-tu appris à faire ça ? »^[28],[29]. Le personnage schizophrène Double-Face ou Pile-ou-face ennemi de Batman créé en 1942 par Bob Kane et Bill Finger décide de la légalité de ses crimes par un jeu de pile ou face. Il utilise une pièce à deux côtés identiques à l'exception d'une rayure de couteau sur l'une d'elles. C'est une pièce de dollar en argent. Citons également le roman Non, ce pays n'est pas pour le vieil homme et son adaptation cinématographique, No Country for Old Men sorti en 2007 de Joel et Ethan Coen, où le tueur à gage psychopathe Anton Chigurh, utilise un lancer de pièce et laisse la destinée décider de la vie de ses victimes^[30]. Une parodie a été faite dans l'épisode 19 de la vingtième saison des Simpson, Une adresse chic^[31].

Le jeu de pile ou face est également à l'origine de certaines intrigues fictives. À la fin de la nouvelle d'Isaac Asimov La Machine qui gagna la guerre publiée en 1961, le personnage de Lamar Swift révèle à ses collaborateurs que l'ordinateur ne donnait en fait pas toutes les informations et qu'il jouait les grandes décisions à pile ou face. Dans l'épisode 16 de la deuxième saison de la série télévisée La Quatrième Dimension, le personnage principal obtient des pouvoirs télépathiques après avoir jeté une pièce qui reste mystérieusement sur la tranche. Son don disparaît lorsqu'il fait tomber la pièce restée sur la tranche.

Le concept de jeu infini de pile ou face est utilisé pour illustrer l'absurde comme dans la pièce de théâtre Rosencrantz et Guildenstern sont morts de 1966, et dans son adaptation cinématographique de 1990 du même nom, de Tom Stoppard. Les deux personnages Rosencrantz et Guildenstern de la pièce de théâtre Hamlet de William Shakespeare assistent à leur propre histoire^[32]. Au début de la pièce, Rosencrantz gagne 85 fois de suite au pile ou face, la très faible probabilité de cet évènement montre que la situation dans laquelle se retrouvent les personnages est absurde mais possible.

L'aspect binaire du jeu est illustré dans le dixième épisode de la cinquième saison de la série animée Futurama de Matt Groening. Le professeur Hubert Farnsworth crée un univers parallèle dans lequel le résultat du jeu de pile ou face est inversé : pile dans un univers lorsque le résultat est face dans l'autre (et vice versa).

De manière plus humoristique, dans l'épisode 15 de la dixième saison de Friends (diffusée en 2004), Joey perd 57 fois de suite contre Rachel au pile ou face avec les règles suivantes : face elle gagne, et pile il perd^[33].

Formalisme mathématique

Donnons ici une formalisation mathématique de l'espace et de la loi de probabilité pour un jeu de pile ou face. C'est un cas particulier souvent utilisé en théorie des probabilités puisqu'on peut décrire explicitement les objets mathématiques.

Pour le lancer d'une pièce, l'univers des possibles est ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}}$, il est composé de deux éléments 0 (ou F) pour face et 1 (ou P) pour pile. On munit cet univers fini de l'ensemble des parties ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}}$. Intuitivement l'ensemble ${\displaystyle \Omega }$ représente les résultats possibles après un lancer de pièce.
On définit alors une probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} }$ en donnant ses valeurs pour les événements {obtenir face} et {obtenir pile}, c'est-à-dire respectivement ${\displaystyle \{0\}}$ et ${\displaystyle \{1\}}$ : ${\displaystyle \mathbb {P} (1)=p}$ et ${\displaystyle \mathbb {P} (0)=1-p}$ avec ${\displaystyle p\in [0,1]}$. C'est-à-dire que la probabilité d'obtenir pile est p et celle d'obtenir face est 1 – p. (p = 1 – p = 1/2 pour une pièce équilibrée). Ainsi la donnée de ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),\mathbb {P} )}$ définit mathématiquement un lancer de pièce.

Pour deux lancers successifs d'une même pièce (ou de deux pièces avec la même loi ${\displaystyle \mathbb {P} }$), l'univers est ${\displaystyle \Omega '=\{0,1\}\times \{0,1\}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}}$ dont les éléments correspondent aux résultats dans l'ordre des deux pièces. On définit une probabilité ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ par ${\displaystyle \mathbb {Q} ((a,b))=\mathbb {P} (a)\mathbb {P} (b)}$ où a et b valent 0 ou 1. C'est-à-dire que les lancers sont indépendants et que chaque lancer a la loi d'un jeu de pile ou face.

Pour deux lancers de deux pièces différentes n'ayant pas la même loi ; c'est-à-dire la première a pour loi ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}}$ définie avec le paramètre p et la deuxième avec la loi ${\displaystyle \mathbb {P} _{2}}$ définie avec le paramètre q ≠ p. L'univers est encore ${\displaystyle \Omega '}$ et on définit la mesure de probabilité ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {Q} }}((a,b))=\mathbb {P} _{1}(a)\mathbb {P} _{2}(b)}$.

Ces définitions se généralisent pour plus de lancers.

Lois de probabilité

Jacques Bernoulli

Le lancer d'une pièce est une épreuve de Bernoulli, c'est-à-dire que l'on réalise une épreuve aléatoire dont le résultat est un succès ou un échec. Ce résultat est représenté par une variable aléatoire de la loi de Bernoulli, ses valeurs possibles sont 0 et 1 (associées à pile et face, ou inversement). Si la pièce est équilibrée, le paramètre de la loi de Bernoulli est p = 1/2, c'est-à-dire que pile et face ont la même probabilité d'apparaître. Si la pièce n'est pas équilibrée, le paramètre p de la loi de Bernoulli ne vaut pas 1/2 et un côté de la pièce a plus de chance d'apparaître que l'autre. Si p > 1/2, ${\displaystyle \mathbb {P} (X=1)>\mathbb {P} (X=0)}$. Remarquons que dans la théorie des probabilités, la pièce est supposée parfaite au sens où la pièce ne peut pas tomber sur la tranche.

Donnons un lien avec la loi binomiale. Lorsque l'on effectue plusieurs lancers de la même pièce, ou de pièces ayant le même équilibrage, les lancers sont supposés indépendants. Le nombre de fois où apparaît le côté pile sur n lancers suit une loi binomiale B(n, p) où le paramètre p est la probabilité que le côté associé au résultat 1 apparaisse.

Il existe également un lien avec la loi géométrique. Si la probabilité d'obtenir pile est p et la probabilité d'obtenir face est 1 – p (p = 1 – p = 1/2 dans le cas équilibré), alors la probabilité d'obtenir face pour les n premiers lancers et pile pour le n+1^e lancer est égale à (1-p)ⁿp. Le nombre de lancers nécessaires pour l'apparition du premier côté pile suit donc une loi géométrique.

Des liens avec d'autres lois de probabilité sont possibles en utilisant des résultats asymptotiques, la loi normale, par exemple, en faisant tendre n vers l'infini (voir la convergence vers la loi normale).

Loi de la proportion de face dans un jeu de pile ou face. Pour chacun des 10 000 jeux de 200 lancers, on compte la proportion de face. Cette densité de loi binomiale approche la courbe de Gauss de la loi normale centrée en 1/2.

Faire tendre n vers l'infini revient à considérer un nombre de lancers qui tend vers l'infini. Pour une infinité de lancers d'une pièce, le fait qu'une séquence de 100 face consécutifs soit réalisée une infinité de fois, est un événement queue, c'est-à-dire que sa probabilité est 0 ou 1. C'est la loi du zéro un de Kolmogorov.

Le jeu de pile ou face permet d'aborder beaucoup de notions probabilistes, il a été inscrit dans la liste des épreuves orales du concours de l'agrégation de mathématiques.

« Le jeu de pile ou face, dont le principe est si simple, possède un très grand caractère de généralité et conduit, lorsqu’on l’étudie en détail, aux mathématiques les plus élevées. »

— Émile Borel, Principes et Formules classiques du Calcul des Probabilités, Chapitre V : Jeu de pile ou face ; 1924^[34]

La modélisation mathématique du jeu de pile ou face, ou l'utilisation de la loi de Bernoulli, a été utilisée comme première approche pour des résultats mathématiques applicables à des lois plus générales :

• Dans son œuvre posthume Ars Conjectandi publié en 1713, Jacques Bernoulli énonce une première version de la loi des grands nombres pour des variables de Bernoulli ${\displaystyle (X_{k},k\geq 1)}$. Notons ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+...+X_{n}}$ la somme du nombre de pile obtenues pour n lancers. Alors la moyenne du nombre de pile converge (en probabilité) vers la probabilité p d'obtenir pile quand on réalise un grand nombre de lancers :
  pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0,\mathbb {P} \left(\left|{\frac {S_{n}}{n}}-p\right|>\varepsilon \right){\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,}$
• Pierre-Simon de Laplace donne une première version du théorème central limite en 1812 qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états^[35]. Son résultat généralise celui d'Abraham de Moivre de 1733 démontré pour le cas particulier p=1/2. En reprenant les notations précédentes, pour tous ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}}$ tels que a < b :
  ${\displaystyle \mathbb {P} \left(a\leq {\frac {S_{n}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\leq b\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\mathrm {d} x}$ .

Retour à l'équilibre

Considérons un jeu classique de pile ou face entre deux joueurs avec une mise de 1 à chaque partie. On s'intéresse au gain d'un des deux joueurs au cours d'une partie contenant une infinité de jeu de pile ou face. On suppose que les joueurs n'ont pas de limite d'argent (fortune infinie) et que la fortune peut éventuellement être négative. D'après un théorème de George Pólya, les deux joueurs retrouveront leurs fortunes initiales une infinité de fois au cours de la partie^[36]. Il est à noter que lorsqu’un joueur retrouve sa fortune initiale, l'autre également. Le nombre de parties nécessaires pour revenir à la fortune initiale est une variable aléatoire, cette variable est finie mais son espérance est infinie.

De manière plus mathématique, le gain d'un joueur au cours de la partie est une marche aléatoire ${\displaystyle (S_{n})_{n\geq 1}}$ dont chaque pas est +1 pour une victoire du joueur et -1 pour une défaite. Le temps de retour à la fortune initiale est le premier retour en 0 de la marche aléatoire : ${\displaystyle T=\min\{k\geq 1;S_{k}=0\}}$. Cette variable aléatoire a pour loi^[36]

${\displaystyle \mathbb {P} (T=2n)={\frac {(2n-2)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}\,{\underset {n\rightarrow \infty }{\sim }}\,{\frac {1}{2n{\sqrt {\pi n}}}}}$.

Par un calcul simple, on en déduit que l'espérance est infinie.

Le jeu avec une vraie pièce est-il juste ?

Une étude statistique a été réalisée par deux médecins sur des patients en oto-laryngologie à Vancouver^[37]. Ils ont demandé à treize patients de faire trois cents lancers chacun et d'essayer d'obtenir face. Ces patients ont reçu une formation de manipulation de pièces et ont pu s'exercer quelques minutes avant l'expérience.

Les treize patients ont réussi à obtenir plus de face que de pile, dont sept patients de manière statistiquement significative. Le meilleur a obtenu 68 % de face. Il est à noter que les deux meilleurs patients ont été motivés par une récompense (pécuniaire) avant l'expérience.

Différentes explications sont données : on peut biaiser le résultat avec de l'exercice sur la manipulation de pièce (c'est le cas pour certains magiciens qui réalisent une illusion de rotation de la pièce), le résultat peut dépendre de l'orientation de la pièce avant le lancer, de la surface de réception (avec la main ou sur une surface fixe comme une table) et des propriétés intrinsèques de la pièce (la pièce belge de 1 euro tomberait plus de fois sur face^[37]).

Déterminer si la pièce est faussée

La question que l'on se pose est : « Étant donnée une pièce de monnaie, est-elle équilibrée ou non ? » Donnons plusieurs méthodes expérimentales pour y répondre. On suppose ici, par rapport à la sous-section précédente, que le lancer de pièce en lui-même est équiprobable.

1. Utilisation de la loi des grands nombres.

   La loi des grands nombres assure que si on effectue un grand nombre de lancers, la moyenne du nombre de côtés pile obtenu est proche de 1/2. L'idée première est donc de lancer la pièce « un grand nombre de fois », de calculer la moyenne du nombre de pile et de le comparer avec 1/2. Cette méthode a cependant ses limites puisque l'on ne peut lancer une infinité de fois.

2. Utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

   L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée au nombre Y_n de pile obtenus pour n lancers s'écrit de la manière suivante : ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|Y_{n}-{\tfrac {n}{2}}\right|\geq a\right)\leq {\tfrac {n}{4a^{2}}}}$, pour tout a. Par exemple, pour quarante lancers, ${\displaystyle \mathbb {P} (|Y_{40}-20|\geq 5)\leq {\tfrac {40}{100}}=0,4}$. Cette inégalité permet d'évaluer la probabilité que le nombre de pile observé (valeur théorique) soit éloigné du nombre de pile théorique, cependant elle n'est pas suffisamment précise pour décider si la pièce est biaisée ou non.

   

   Courbe, dite « en cloche », de la loi normale.

3. Utilisation du théorème central limite.

   Le théorème central limite appliqué au nombre Y_n de pile obtenus pour n lancers correspond au théorème de Moivre-Laplace, il assure que, pour une pièce équilibrée, ${\displaystyle \mathbb {P} \left(Y_{n}-{\frac {n}{2}}\leq {\frac {b{\sqrt {n}}}{2}}\right)}$ est proche de ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{b}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\mathrm {d} x}$. On utilise alors une table de loi normale^[38] pour obtenir une valeur approchée de cette intégrale. Ainsi, pour 40 lancers, ${\displaystyle \mathbb {P} (|Y_{40}-20|\geq 5)=2\times \mathbb {P} \left(Y_{40}-20\leq -5\right)=2-2\times \mathbb {P} \left(Y_{40}-20\leq 5\right)}$, en prenant b=1,58, on obtient ${\displaystyle \mathbb {P} (|Y_{40}-20|\geq 5)\approx 2-2\times 0,944=0,11}$. C'est-à-dire, avec une probabilité 0,89, le nombre de pile pour quarante lancers est entre quinze et vingt-cinq. Ce résultat, plus précis que l'inégalité précédente, n'est valide que pour « n grand », n>36 d'après le théorème de Moivre-Laplace. Une meilleure méthode est d'utiliser un test statistique.

4. Réalisons le test statistique du χ² à un degré de liberté puisque l'on vérifie une unique valeur : le nombre de pile, c'est un test bilatéral. (Voir également le déroulement d'un test d'hypothèse.)

• 1^re étape : On formule l'hypothèse nulle H₀ et on fixe un seuil α. L'hypothèse H₀ est l'évènement dont on veut connaitre la probabilité : H₀=[la pièce a une chance sur deux de tomber sur pile]. Le seuil α est le pourcentage en dessous duquel on est prêt à rejeter l'hypothèse H₀ (souvent α= 5 % ou 1 %).
• 2^e étape : On calcule la variable de décision. C'est-à-dire que l'on réalise une expérience de n lancers de pièce, puis on compte le nombre de côtés pile obtenus. Ce nombre que l'on note o_p est appelé la valeur empirique. Le choix de la taille de l'échantillon n'est pas évident, il doit être suffisamment petit pour être réalisable et suffisamment grand pour donner un résultat significatif. Le nombre de lancers minimal est de dix (5 divisé par la fréquence théorique : 0,5, cf. les conditions du test).
• 3^e étape : On calcule la valeur de la statistique qui correspond à la distance de o_p à la valeur théorique p=1/2 pour le test du χ². Le χ² observé est

${\displaystyle \chi _{\rm {obs}}^{2}={\frac {(o_{p}-n\times 0,5)^{2}}{n\times 0,5}}+{\frac {(n-o_{p}-n\times 0,5)^{2}}{n\times 0,5}}=0,5n+{\frac {o_{p}^{2}-no_{p}}{0,5n}}}$

• 4^e étape : On compare cette statistique avec la valeur critique χ²_crit calculée en fonction de la taille de l'échantillon n et du seuil α. La table suivante est calculée à partir de la loi du χ².

• 5^e étape : Finalement, on déduit l'acceptation ou le rejet de l'hypothèse H₀.
  Si χ²_obs > χ²_crit, on rejette l'hypothèse H₀ au seuil α,
  si χ²_obs < χ²_crit, on accepte l'hypothèse H₀ au seuil α.

Exemple : on réalise n=100 lancers, et on choisit un seuil α = 5 %

• si on obtient o_p = 61 pile et n - o_p = 39 face,
  ${\displaystyle \chi _{\rm {obs}}^{2}={\frac {(61-50)^{2}}{50}}+{\frac {(39-50)^{2}}{50}}=4,84}$ est supérieur à ${\displaystyle \chi _{\rm {crit}}^{2}=3,84}$.
  On rejette alors l'hypothèse la pièce est équilibrée au seuil 5 %.
  C'est-à-dire : on peut affirmer, avec fiabilité 95 %, que la pièce n'est pas équilibrée.
• si on obtient o_p = 59 pile et n - o_p = 41 face,
  alors ${\displaystyle \chi _{\rm {obs}}^{2}={\frac {(59-50)^{2}}{50}}+{\frac {(41-50)^{2}}{50}}=3,24}$ est inférieur à ${\displaystyle \chi _{\rm {crit}}^{2}=3.84}$.
  On ne peut pas rejeter l'hypothèse la pièce est équilibrée, au seuil 5 %.
  C'est-à-dire : on ne peut pas affirmer, avec fiabilité 95 %, que la pièce n'est pas équilibrée.

Contre-intuitions

Intuitivement les réponses aux deux questions suivantes semblent être identiques. Mais leur différence est source de bien des erreurs et de paradoxes mathématiques.

La question « Quelle est la probabilité d'obtenir pile au dixième lancer sachant que l'on a obtenu face sur les neuf premiers lancers ? », se pose entre le neuvième lancer et le dixième, sachant donc que l'on connait déjà les résultats des premiers lancers.

La réponse est donc 1/2 puisque les lancers de pièces sont indépendants.

Écriture mathématique :

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{10}=1|X_{1}=...=X_{9}=0)=\mathbb {P} (X_{10}=1)={\frac {1}{2}}}$

La question « Quelle est la probabilité d'obtenir pile au dixième lancer et d'obtenir face sur les neuf premiers lancers ? » se pose quant à elle avant le premier lancer, la probabilité concernant les dix lancers.

La réponse est donc (1/2)¹⁰≈0,001.

Écriture mathématique :

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{10}=1,X_{1}=...=X_{9}=0)=\mathbb {P} (X_{10}=1)\mathbb {P} (X_{1}=0)...\mathbb {P} (X_{9}=0)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{10}}$

Notons que la probabilité d'obtenir face au dixième lancer et d'obtenir face sur les neuf premiers lancers (autrement dit d'obtenir face sur 10 lancers consécutifs) est également (1/2)¹⁰.

Le paradoxe engendré par la différence entre ces deux questions s'appelle l'erreur du parieur. Des problèmes basés sur le jeu de pile ou face ont souvent été énoncés pour illustrer des paradoxes plus généraux. Certains sont contre-intuitifs, d'autres n'ont toujours pas été résolus. En voici quelques exemples.

Notes

Références

Articles connexes

Liens externes