Atmosphère et modèle gravitationnel

Les atmosphères sont caractérisées par leur composition et les variations avec l'altitude de la température et de la pression. Cette dernière valeur conditionne l'angle de rentrée afin de limiter l'échauffement du corps en restant dans une région peu dense. On peut décrire assez simplement le profil vertical de pression p ou de masse volumique ${\displaystyle \textstyle \rho }$ en fonction de l'altitude h en supposant un milieu isotherme en équilibre hydrostatique décrit par l'équation

${\displaystyle \textstyle {\frac {dp}{dh}}=-g\rho }$

où g est l'accélération de la pesanteur. g=9.802 m/s² sur terre, 3,711 m/s² sur Mars. En remplaçant p par sa valeur issue de l'équation d'état ${\displaystyle \textstyle p={\frac {\rho {\mathcal {R}}T}{\mathcal {M}}}}$ dans laquelle ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est la constante universelle des gaz et ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ la masse molaire moyenne, la résolution de l'équation d'équilibre de l'atmosphère donne ainsi un profil exponentiel

${\displaystyle \textstyle \rho =\rho _{0}e^{-{\frac {h}{h_{0}}}}}$

où ${\displaystyle \textstyle \rho _{0}=1.39kg/m^{3}}$ pour la Terre est un paramètre permettant une bonne approximation dans la tranche d'altitude intéressante (valeur légèrement différente de la véritable valeur au sol), ${\displaystyle \textstyle h_{0}={\frac {{\mathcal {R}}T}{{\mathcal {M}}g}}}$ constitue le facteur d'échelle qui vaut environ 7,9 km pour la Terre, 11,1 km pour Mars, 5,3 km pour Vénus et 38 km pour Titan. Sur ce satellite de Saturne le faible gradient vertical permet donc d'utiliser pour l'entrée des trajectoires à plus grande pente par rapport au plan horizontal local.

La loi exponentielle implique qu'il n'existe pas de limite séparant l'atmosphère du vide spatial. On choisira donc une limite arbitraire à partir des effets sur l'objet, et tout d'abord sur son attitude, les effets sur la vitesse (mouvement du centre de gravité) étant légèrement postérieurs. Dans le cas terrestre on utilise généralement la valeur de 120 km. Cette valeur est arbitraire mais correcte pour la plupart des objets, qu'il s'agisse d'une sonde spatiale ou d'une navette spatiale. Elle est faible pour des objets de rapport diamètre/masse élevé comme les systèmes déployables.

Dans le cas général l'atmosphère utilisée pour prédire la rentrée est constituée par des profils verticaux de toutes les quantités d'intérêt (composition, température, pression, vents, etc.) dont il existe des bases de données comme le modèle GRAM (Global Reference Atmospheric Model) de la NASA^[12] disponible pour toutes les atmosphères planétaires.

De la même façon on utilise des modèles géodétiques pour caractériser le profil de gravité. Le système standard est le WGS 84^[13] (World Geodetic System), également utilisé par les systèmes GPS.

La trajectoire balistique

Trajectoires de divers objets

Dans le cas d'un corps dénué de portance l'objet est caractérisé par son coefficient balistique ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {m}{S_{ref}C_{A}}}}$ où m est la masse, S_ref une surface de référence arbitraire et C_A le coefficient de traînée relatif à cette surface (seul le produit S_refC_A a une signification physique). On peut calculer assez facilement cette trajectoire si l'on suppose celle-ci rectiligne, de vitesse initiale V₀, de pente ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ avec un coefficient de traînée constant (trajectoire d'Allen). On en déduit l'accélération maximale

${\displaystyle \textstyle \left.{\frac {dV}{dt}}\right|_{max}={\frac {V_{0}^{2}sin\gamma }{2h_{0}e}}}$

On remarque que l'accélération maximale est indépendante du coefficient balistique. On peut également calculer l'altitude à laquelle se produit cet évènement

${\displaystyle \textstyle h=h_{0}~ln(2K\rho _{0})}$

où ${\displaystyle \scriptstyle {K}\textstyle ={\frac {h_{0}}{2\beta sin\gamma }}}$. À titre d'exemple dans le cas de Stardust β = 58 kg/m^2[14] l'accélération maximale est de 615 m/s² (environ 63 g), obtenue a 47,4 km d'altitude. Une telle valeur est trop faible pour influencer la conception mécanique de l'objet. Bien entendu ce paramètre est prépondérant pour la rentrée humaine qui doit être limitée à une valeur inférieure à 10 g.

Démonstration

L'équation fondamentale du mouvement s'écrit ici

${\displaystyle \textstyle F_{A}=m{\frac {dV}{dt}}=m{\frac {dV}{d\rho }}{\frac {d\rho }{dh}}{\frac {dh}{dt}}}$

où V est la vitesse comptée positivement vers le bas. L'hypothèse de trajectoire rectiligne permet d'écrire

${\displaystyle \textstyle {\frac {dh}{dt}}=-Vsin\gamma }$

${\displaystyle \gamma }$ est la pente de la trajectoire, comptée positivement vers le bas. La dérivée de la masse volumique s'exprime en utilisant l'atmosphère exponentielle décrite ci-dessus

${\displaystyle \textstyle {\frac {d\rho }{dh}}=-{\frac {\rho }{h_{0}}}}$

La force de traînée ${\displaystyle \textstyle F_{A}}$ est donnée par

${\displaystyle \textstyle F_{A}=-{\frac {1}{2}}\rho S_{ref}C_{A}V^{2}}$

En réarrangeant les termes des diverses équations il vient

${\displaystyle \textstyle {\frac {dV}{d\rho }}=-KV}$

où ${\displaystyle K=\textstyle {\frac {h_{0}}{2\beta sin\gamma }}}$. La solution de cette équation est

${\displaystyle \textstyle V=V_{0}e^{-K\rho }}$

où V₀ est la vitesse initiale. On peut par suite en déduire l'accélération

${\displaystyle \textstyle {\frac {dV}{dt}}={\frac {V_{0}^{2}\rho }{2\beta h_{0}}}e^{-2K\rho }}$

Le pic d'accélération est obtenu pour ${\displaystyle \textstyle \rho ={\frac {1}{2K}}}$ à l'altitude ${\displaystyle \textstyle h=h_{0}~ln(2K\rho _{0})}$ et vaut

${\displaystyle \textstyle \left.{\frac {dV}{dt}}\right|_{max}={\frac {V_{0}^{2}sin\gamma }{2h_{0}e}}}$

e est nombre d'Euler.

La trajectoire d'un objet portant

Incidence d'équilibre d'Apollo${\displaystyle \scriptstyle {\vec {CG}}\wedge {\vec {R}}=0}$

L'utilité d'utiliser des objets capables d'évoluer dans l'atmosphère s'est fait sentir très tôt. Cette technique^[15] s'est manifestée d'abord modestement dans le programme Gemini puis beaucoup plus efficacement dans le programme Apollo. Ceci a évolué ultérieurement vers la conception d'un véritable avion : la navette spatiale.

La conception des capsules Gemini et Apollo est particulièrement intéressante du fait de sa simplicité. Ces engins sont de révolution (sauf quelques artefacts technologiques). La portance est obtenue grâce à un balourd statique, un déport du Centre des masses G de l'engin à l'écart de l'axe de symétrie (le Centre de portance C étant sur l'axe de symétrie). Cette portance est donc fixe en axes engin et pilotée par rotation de celui-ci par des jets de gaz. Ceci implique bien sûr l'existence de systèmes de guidage et de pilotage. L'incidence est donc également fixe : environ 30 degrés dans le cas d'Apollo, ce qui lui donne une portance définie par une finesse de 0.3 environ. Cette valeur, bien que très faible comparée à celle d'un avion, a cependant permis à Apollo 4 d'effectuer une ressource (au sens aéronautique). Ce principe a été utilisé plus récemment sur Mars Science Laboratory. Cette technique permet une meilleure précision d'atterrissage, environ 20 km contre plus d'une centaine dans le plan de la trajectoire pour un corps non piloté.

La séquence post-phase hypersonique

Lorsque la sonde a atteint Mach 1 à 1.5 (1.23 pour Stardust), un parachute supersonique est déployé. Il a pour fonction non seulement de ralentir la sonde mais également de la stabiliser durant la phase transsonique. Après passage en subsonique un parachute de grand diamètre prend le relais pour amener la vitesse à une valeur comprise entre 10 et 100 m/s (ordres de grandeur). Durant cette phase le bouclier thermique avant est largué : sa fonction de protection est terminée et il constitue une masse peu souhaitée. D'autres systèmes peuvent également être largués, par exemple les lests utilisés sur Mars Science Laboratory pour créer un balourd et pouvant créer un problème de non-verticalité lors de l'approche du sol.

La partie atterrissage peut utiliser des techniques différentes : amerrissage (toutes les capsules habitées américaines), rétro-fusées avec bras articulés amortisseurs (Viking) ou sans (Soyouz), airbags (Mars Pathfinder) et dans le cas de Mars Science Laboratory une technique originale faisant appel à un porteur muni de propulseurs qui dépose la charge utile (en l'occurrence le robot) par l'intermédiaire d'un filin.

Haute altitude : les phénomènes liés à la raréfaction

Au-delà de 90 km d'altitude (dans l'atmosphère terrestre), le libre parcours moyen des molécules dépasse le centimètre. L'écoulement d'un tel milieu fait appel à la théorie cinétique des gaz. Les échanges d'énergie étant très faibles, ceci concerne la modification d'attitude ou des objets de grandes dimensions (structures déployables) ainsi que l'aérocapture.

Phase principale : gaz hors d'équilibre thermodynamique et réactions chimiques

Profils des températures de translation T et internes T_i entre le corps et le choc

L'énergie est transférée à la paroi avec un certain débit : la densité de flux de chaleur. Celle-ci est d'origine convective et radiative, ce dernier mode pouvant être négligeable pour les faibles vitesses. Le flux convectif étant dépendant de la paroi, on évaluera un flux de référence sur paroi froide et inerte souvent nommé flux de chaleur sans autre précision.

L'objet rentrant crée une onde de choc intense qui provoque presque instantanément une augmentation de la température jusqu'à 10 000 ou 15 000 K. Derrière l'onde de choc, le milieu est hors équilibre thermodynamique et est le siège d'intenses réactions chimiques. Le milieu est décrit par plusieurs températures correspondantes aux divers degrés de liberté du gaz. Les modèles les plus simples se cantonnent à deux températures. La première est relative à la translation des particules lourdes (molécules, atomes et ions) et est liée à la statistique de Maxwell. La seconde décrit les énergies internes (statistique de Boltzmann). La température de rotation des molécules est égale à la température de translation et la température des électrons libres égale à celle des énergies internes^[17].

Les collisions ramènent vers l'équilibre thermodynamique qui est généralement atteint avant le corps mais le milieu reste assez chaud pour que perdurent les réactions chimiques, typiquement 4 000 à 6 000 K au voisinage de la couche limite. Les flux de chaleur convectifs sont très souvent évalués en ne conservant de cette physique complexe que les réactions chimiques. C'est ainsi que des méthodes approchées ont été mises au point, permettant une estimation aisée du flux pariétal au point d'arrêt, telle que la méthode de Sutton et Graves conduisant à l'expression suivante^[18] :

${\displaystyle \textstyle q=a\left({\frac {\rho }{R}}\right)^{1/2}V^{3}}$

R est le rayon du corps au voisinage de l'axe de symétrie et a une constante caractéristique de l'atmosphère. a=1.83 10^-4 kg^-1/2 m^-1 pour l'atmosphère terrestre, a=1.35 10^-4 kg^-1/2 m^-1 pour celle de Mars. La précision est de l'ordre de 10 %. On remarque la dépendance en R^-1/2 liée au gradient de vitesse de l'écoulement sur le corps. Le flux décroît lorsque l'on augmente le rayon.

En reprenant la méthode utilisée ci-dessus pour la cinématique, on peut calculer l'altitude du flux maximal

${\displaystyle h=h_{0}~log\left(6K\rho _{0}\right)}$

et sa valeur

${\displaystyle \textstyle q_{max}=aV_{0}^{3}\left({\frac {\beta sin\gamma }{3eh_{0}R}}\right)^{1/2}}$

Dans le cas de l'exemple de Stardust R=0,220 m d'où un flux maximal de 9,8 MW/m² à une altitude de 57 km. La valeur exacte calculée par des méthodes plus précises est 10,2 MW/m^2[19]. Cette valeur est considérable. Si on veut estimer ses effets on peut calculer la température qu'atteindrait une paroi d'émissivité égale à 1 soumise à ce flux. Cette valeur est donnée par la relation d'équilibre de rayonnement ${\displaystyle \textstyle q=\sigma T^{4}}$ soit 3630 K. Il n'existe aucun matériau capable de résister à cette température en atmosphère oxydante. C'est pourquoi on fait appel à un bouclier thermique ablatif. Le choix du matériau sera lié à q_max tandis que son épaisseur sera liée à l'énergie surfacique

${\displaystyle \textstyle Q=\int _{0}^{t_{fin}}qdt=aV_{0}^{2}{\sqrt {\frac {\pi \beta h_{0}}{Rsin\gamma }}}}$

On remarque que cette quantité varie comme ${\displaystyle V_{0}^{2}}$ alors que le flux maximal varie comme ${\displaystyle V_{0}^{3}}$. Dans le cas de Stardust l'énergie surfacique atteint 190 MJ/m²

Démonstration

L'intégration doit se faire sur la masse volumique. Pour cela on effectue un changement de variable en utilisant la relation

${\displaystyle \textstyle {\frac {d\rho }{dt}}=-{\frac {\rho Vsin\gamma }{h_{0}}}}$

d'où

${\displaystyle \textstyle Q={\frac {ah_{0}V_{0}^{2}}{R^{\frac {1}{2}}sin\gamma }}\int _{0}^{t_{fin}}\rho ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-2K\rho }d\rho }$

L'intégrale ci-dessus vaut ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {\pi }{2K}}}erf(2K\rho (t_{fin}))}$. En pratique la fonction d'erreur vaut 1, les flux en fin de trajectoire étant faibles. D'où l'expression approchée de l'énergie surfacique

${\displaystyle \textstyle Q=aV_{0}^{2}{\sqrt {\frac {\pi \beta h_{0}}{Rsin\gamma }}}}$

Rayonnement

Aux vitesses modérées (V < 15 000 m/s)

Le rayonnement émis par un gaz augmente très vite avec la température. Dans le cas de l'air, le passage de 5 000 K (voisinage de la paroi) à 10 000 K (immédiatement derrière le choc) produit une augmentation de l'énergie émise d'un facteur 10⁴ environ^[20]. Il faut atteindre dans l'atmosphère terrestre des vitesses supérieures à 10 km/s pour que ce phénomène devienne important. Dans le cas de la rentrée sur Titan, le rayonnement a été notable malgré la vitesse modeste. Ceci est lié à la présence d'hydrocarbures dans l'atmosphère de ce satellite. En arrivant dans la région la plus chaude de l'écoulement, il se crée des espèces chimiques ayant un fort pouvoir émissif, par exemple le radical CN. Ces espèces sont également présentes dans tous les cas dans la couche limite du fait de la dégradation de l'écran thermique mais elles sont confinées dans des régions plus froides et donc n'émettent que peu.

Ce type de phénomène se prête assez peu au calcul approché comme celui fait ci-dessus pour la convection. Il existe cependant des corrélations permettant de calculer une valeur approximative du flux pariétal. Elles sont de la forme^[21]

${\displaystyle \textstyle q_{r}=aR^{b}\rho ^{c}P(V)}$

P(V) est un polynôme d'approximation qui varie rapidement avec V, ceci traduisant l'évolution de l'émission avec la température. Dans l'exemple de Stardust, ceci conduit à une valeur maximale de 1,9 MW/m², c'est-à-dire une valeur non négligeable comparée au flux convectif calculé ci-dessus qui est, rappelons-le, une valeur sur paroi froide et inerte donc majorant la valeur réelle dépendante de l'écran thermique. Il existe également une corrélation plus simple et moins précise due à Detra et Hidalgo^[22] :

${\displaystyle \textstyle q_{r}=aR\rho ^{\alpha }V^{\beta }}$

Pour cette dernière, on peut comme ci-dessus calculer l'altitude correspondante au maximum de flux radiatif : ${\displaystyle \textstyle h=h_{0}~log\left({\frac {\beta }{\alpha }}K\rho _{0}\right)}$, valeur peu différente de celle obtenue pour le flux convectif. Cette expression est valide pour un milieu transparent dans lequel la quantité d'énergie émise est proportionnelle à l'épaisseur du domaine qui émet, laquelle est directement proportionnelle au rayon par invariance par homothétie des équations d'Euler. Ces corrélations sont limitées à un domaine relativement limité ; en particulier, elles ne sont pas applicables pour des vitesses notablement supérieures à 16 km/s. Pour les très grandes vitesses telle que les entrées de météoroïdes, il se crée un fort couplage entre rayonnement et convection : le rayonnement abaisse la température du gaz et diminue l'épaisseur de la couche de choc, entraînant une auto-limitation des flux convectif et radiatif. Le rayonnement devient rapidement le mode de transfert prépondérant. Cet effet peut être estimé à partir du nombre de Goulard ${\displaystyle \textstyle \Gamma ={\frac {Q_{r}}{1/2\rho V^{3}}}}$. Le couplage devient notable dès que cette quantité atteint quelques pourcents. Le flux radiatif couplé vaut alors environ^[23] :

${\displaystyle \textstyle q_{r}'={\frac {q_{r}}{1+a\Gamma ^{0.7}}}}$

a=3,45 pour l'air, 3 pour l'atmosphère de Jupiter, 2 pour celle de Titan. Bien que la corrélation ci-dessus ne soit pas valable pour les petits rayons on peut néanmoins noter que la tendance rend difficile l'expérience sur une maquette d'essai (tube à choc, tunnel de tir ou torche à plasma) du fait du faible rayon utilisable dans ces installations.