رياضيات التذبذب

التذبذب من سلسلة (كما هو موضح باللون الأزرق) هو الفرق بين الحد الأعلى و الحد أدنى من التسلسل.

في الرياضيات ، التذبذب وظيفة أو تسلسل هو الرقم الذي يقيس مدى تسلسل أو وظيفة يختلف بين القيم القصوى تقترب من اللانهاية أو نقطة. كما هو الحال مع الحدود هناك العديد من التعاريف التي وضعت بديهية المفهوم إلى شكل مناسبة رياضية العلاج: التذبذب من تسلسل من الارقام الحقيقية, التذبذب الحقيقي قيمة الدالة عند نقطة ، التذبذب دالة على الفاصل الزمني (أو مجموعة مفتوحة).

التعاريف

التذبذب من سلسلة

السماح يكون تسلسل من الأرقام الحقيقية. التذبذب من هذا التسلسل هو الذي يعرف بأنه الفرق (ربما لا حصر له) بين الحد الأعلى و الحد أدنى من :

${\displaystyle \omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}}$.

التذبذب هو الصفر إذا و فقط إذا كان تسلسل يتقاطع. هو غير معروف إذا و كلاهما يساوي +∞ أو كليهما يساوي −∞, وهذا هو, إذا كان تسلسل يميل إلى +∞ أو −∞.

التذبذب دالة على تعيين

السماح تكون قيمتها الحقيقية وظائف حقيقية متغير. التذبذب على فاصل في المجال هو الفرق بين supremum و infimum من :

عموما ، إذا دالة على طوبولوجي الفضاء (مثل متري الفضاء) ، ثم التذبذب على فتح مجموعة هو

${\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).}$

التذبذب دالة في نقطة

التذبذب وظيفة حقيقية متغير في نقطة يتم تعريف الحد من التذبذب على -حي :

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).}$

هذا هو نفس الفرق بين الحد الأعلى و الحد أدنى وظيفة في , توفير نقطة ليس مستبعدا من الحدود.

عموما ، إذا هو قيمتها الحقيقية الدالة على الفضاء المتري ، ثم التذبذب هو

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).}$

أمثلة

sin (1/x) ( topologist هو شرط منحنى) التذبذب 2 في x = 0 ، 0 في مكان آخر.

• 1/x قد التذبذب ∞ عند x = 0 و التذبذب 0 في الأخرى محدودة x و−∞+∞.
• sin (1/x) ( topologist هو شرط منحنى) التذبذب 2 في x = 0 ، 0 في مكان آخر.
• sin x قد التذبذب 0 في كل محدود xو 2 في−∞+∞.
• تسلسل 1, −1, 1, −1, 1, −1, ... التذبذب 2.

في المثال الأخير تسلسل الدوري ، أي تسلسل هذا الدوري دون التعرض المستمر سوف يكون غير الصفر التذبذب. ومع ذلك, غير الصفر التذبذب لا تشير عادة دورية.

هندسي, الرسم البياني تتأرجح الدالة على الأعداد الحقيقية يلي بعض الطريق في xy-الطائرة دون أن يستقر في أصغر المناطق. في حسن تصرف الحالات المسار قد تبدو حلقة يعود على نفسه ، ، الدوري السلوك في أسوأ الحالات تماما الحركة غير النظامية التي تغطي المنطقة بأسرها.

الاستمرارية

التذبذب يمكن استخدامها لتحديد استمرارية وظيفة ، أي ما يعادل المعتاد ε-δ تعريف (في حالة المهام المحددة في كل مكان على الخط الحقيقي): الدالة ƒ مستمر في نقطة x₀ إذا و فقط إذا كان التذبذب هو الصفر ؛ ^[1] في الرموز ، فائدة من هذا التعريف هو أنه يقيس الانقطاع: التذبذب كيف يعطي الكثير من وظيفة متقطع عند نقطة.

على سبيل المثال ، في تصنيف ثغرات:

• في القابلة للإزالة الانقطاع ، والمسافة أن قيمة الدالة من هو التذبذب;
• في قفزة انقطاع, حجم القفزة هو التذبذب (على افتراض أن القيمة في نقطة تقع بين هذه الحدود من الجانبين);
• في أساسي انقطاع, التذبذب التدابير فشل في الحد من الوجود.

هذا التعريف هو مفيد في نظرية وصفية لدراسة مجموعة من انقطاعات مستمرة نقاط المستمر نقاط تقاطع مجموعات حيث التذبذب أقل من ε (ومن ثم ز_δ مجموعة) – ويعطي سريعة جدا دليل على اتجاه واحد من ليبيسج integrability الشرط.^[2]

التذبذب هو التكافؤ إلى ε-δ تعريف بسيط إعادة الترتيب ، باستخدام الحد (ليم sup, ليم inf) تحديد التذبذب: إذا (عند نقطة معينة) معين ε₀ لا يوجد δ الذي يرضي ε-δ التعريف ، ثم التذبذب على الأقل ε₀, وعلى العكس من ذلك إذا كان كل ε هناك المطلوب δ, التذبذب هو 0. التذبذب تعريف يمكن أن يكون طبيعيا تعميمها على الخرائط من طوبولوجي الفضاء إلى الفضاء المتري.

التعميمات

أكثر عموما, إذا كان f : X → Y هي وظيفة من الطوبوغرافية الفضاء X في الفضاء المتري Y, ثم التذبذب و يتم تعريف كل x ∈ X من قبل

${\displaystyle \omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}}$

مقالات ذات صلة

• موجة المعادله
• موجة المغلف
• غراندي سلسلة
• يحدها يعني التذبذب

^[1][2] المراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي