مربع

في الهندسة الرياضية، المربع (Square)‏ هو رباعي أضلاع منتظم أضلاعه متساوية في الطول ومتعامدة تشكل أربع زوايا قائمة.^[1][2][3] يمكن تشكيل المربع عن طريق جمع مثلثين قائمي الزاوية ومتساويا الساقين عند الوتر.

مربع
المربع هو رباعي أضلاع منتظم.
نوع	مضلع منتظم
أضلاع ورؤوس	4
مخطط كوكستير-دينكين
مجموعة التناظر	زمرة زوجية (D4)
المساحة	t2 (إذا كان t طول الضلع)
زاوية داخلية (درجة)	90°
خصائص	محدب، دائري، رباعي أضلاع, مضلع منتظم

وللمربع أهمية كبيرة في عموم المفاهيم الهندسية وعليه يبنى تعريف المساحة لمختلف الوحدات المربعة.

خواص المربع

• جميع أضلاع المربع متساوية في الطول.
• الضلعان المتقابلان في المربع متوازيان ومتساويان في الطول.
• جميع قياسات زوايا المربع متساوية وقائمة، أي أنها تساوي °90 نظرا إلى 360÷4=90.
• القطر في المربع يكون من الزاوية إلى الزاوية المقابلة لها وقطرا المربع متعامدان ومتساويان وينصف أحدهما الآخر وينصفان زوايا المربع.
• للمربع أربعة محاور تناظر، اثنان منها هما القطران، وإثنين هما المستقيمان الواصلان بين منتصفي كل ضلعين متقابلين.
• نقطة التقاء القطرين تشكل مركز تناظر للمربع.

تمييز المربع عن غيره من الأشكال

يكون رباعي أضلاع محدبٌ مربعا إذا توفرت إحدى الشروط التالية:

• أن يكون مستطيلا به كل ضلعين متجاورين متساويان.
• أن يكون معينا زواياه قائمة.
• أن يكون متوازي أضلاع تساوى فيه ضلعان متجاوران وإحدى زواياه قائمة.
• أن يكون معينا تساوى قطراه.
• أن يكون مستطيلا تعامد قطراه.
• أن يكون رباعي أضلاع متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا (وبذلك تكون زواياه قائمة).

المحيط والمساحة

مساحة المربع هي جداء طول أضلاعه.

يعطى محيط المربع بالعلاقة: الضلع × 4.

${\displaystyle P=4\ell }$

أما مساحته فتعطى بالعلاقة التالية : طول الضلع × طول الضلع. أو تربيع الضلع ( ل²):

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$

الإحداثيات والمعادلات

${\displaystyle |x|+|y|=2}$ رسم على نظام إحداثي ديكارتي.

المعادلة

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

تصف مربعا ضلعه يساوي 2 ويتقاطع قطراه في مركز المَعلم. المساحة تساوي مربع القطر على 2

الإنشاء

إنشاء مربع باستعمال الفرجار والمسطرة

الصورة في اليسار تبين كيفية رسم المربع بالفرجار والمسطرة.

تربيع الدائرة

تربيع الدائرة هي معضلة قديمة وضعها علماء الهندسة القدامى يتمثل في انشاء مربع له نفس مساحة دائرة معلومة ما، باستعمال عدد منته فقط من الخطوات بالفرجار والمسطرة.

في عام 1882، أُثبتت استحالة هذه المهمة نتيجةً لمبرهنة ليندمان-ويرستراس، التي تبرهن على أن π عدد متسام بدلا من أن يكون عددا جبريا (أي أنه لا يمكن أن يكون جذرا لمتعددة حدود جميع معاملاتها أعداد جذرية).

حقائق أخرى

• بما أن المربع هو مستطيل، فإنه يحقق مبرهنة العلم البريطاني.
• قطرا المربع متعامدان ومتساويان وينصف كلٌّ منهما الآخر وطولهما يساوي ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ مرةً طول ضلع من أضلاع المربع (حوالي 1.414). هذه القيمة المعروفة باسم الجذر التربيعي لاثنين أو بثابتة فيثاغورس، كانت أول عدد يبرهن عليه بأنه ليس بعدد جذري.
• إذا كان شكل هندسي ما مستطيلا ومعينا في آن واحد، فإنه مربع.

الهندسة غير الإقليدية

انظر هندسة كروية.

أمثلة

ست مربعات يمكن أن تقسم كرة إلى ست أقسام بثلاث مربعات حول كل رأس وزاوية بقياس 120 درجة 3 . رمز شليفلي هو l  {4,3}.

Squares can tile the فضاء ثنائي الأبعاد with 4 around each vertex, with each square having an internal angle of 90°. رمز شليفلي هو l {4,4}.

Squares can tile the hyperbolic plane with 5 around each vertex, with each square having 72-degree internal angles. The رمز شليفلي هو  {4,5}.

مقالات ذات صلة

• مكعب
• نجمة رباعية
• مبرهنة فيثاغورس

مراجع

وصلات خارجية

• إيريك ويستاين، مربع، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة هندسة رياضية
• موسوعة رياضيات