تدرج (رياضيات)

في حساب المتجهات ، التدرج ورمزه ${\displaystyle \nabla }$ مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري التدور والتباعد.^[1][2][3] يؤثر التدرج على الحقول القياسية وينتج حقولا متجهية يتركز في اتجاه أعلى معدل تزايد للحقل القياسي.

في الصورتين أعلاه، الحقل القياسي باللونين الأسود والأبيض والحقل المتجهي باللون الأزرق. اللون الأسود يعبر عن قيم عالية. والأسهم الزرقاء تمثل التدرج المقابل.

الصيغة الرياضية

يحسب تدرج حقل قياسي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد وفقا لما يلي:

${\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$

أما في الإحداثيات القطبية فوفقا للتالي:
${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

وفي الإحداثيات الإسطوانية
${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial \rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}$

أما في الإحداثيات الكروية
${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

العمليات على المتجهات

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل نابلا (${\displaystyle \nabla }$). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية	الترميز	الوصف	المجال
تدرجGradient	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.	تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
تدورCurl	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعدDivergence	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسيLaplacian	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	مركب من عمليتي التشعب والتغير.	يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي