مبرهنة التدرج

مبرهنة التدرج هي مبرهنة تحليل المتجهات التي تربط التكامل الحجمي لتدرج حقل سلمي والتكامل السطحي لنفس الحقل.

المبرهنة هي كما يلي:

برهان

لإثبات أن هذين المتجهتين متساويتان، يكفي التحقق من أن جدائهما السلمي في أي متجه تستخدم مبرهنة التباعد ^[1] .

ليكن ${\displaystyle {\vec {u}}}$ متجه اختياري، لنبين أن:

${\displaystyle \left(\iint _{S}f~{\rm {d}}{\vec {S}}\right)\cdot {\vec {u}}=\left(\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\!f~{\rm {d}}V\right)\cdot {\vec {u}}}$

أو مرة أخرى (الجداء السلمي يتم تبديله وتوزيعه على إضافة المتجهات )، لنبين أن:

${\displaystyle \iint _{S}f\,{\vec {u}}\cdot {\rm {d}}{\vec {S}}=\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\!f\cdot {\vec {u}}~{\rm {d}}V}$

حسب مبرهنة التباعد:

${\displaystyle \iint _{S}f\,{\vec {u}}\cdot {\rm {d}}{\vec {S}}=\iiint _{V}{\rm {div}}(f\,{\vec {u}})~{\rm {d}}V.}$

الآن، وفقًا لإحدى صيغ لايبنز لتحليل المتجهات، وبما أن تباعد الحقل المتجهي منتظم يساوي صفرًا، لدينا:

بتعويض في التكامل الأخير، يحدد المساواة المعلنة.

${\displaystyle \iint _{S}f\,{\vec {u}}\cdot {\rm {d}}{\vec {S}}=\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\!f\cdot {\vec {u}}~{\rm {d}}V.}$

مرجع

مقالات ذات صلة

• مبدأ أرخميدس

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي