دوال زائدية عكسية

دوال عكسية للدوال الزائدية

☰ جدول المحتويات

نبذة تمهيدية
الترميز
العبارات اللوغاريتمية للدوال
صيغ الإضافة
تركيب الدوال الزائدية والزائدية العكسية
المشتقات
التكاملات
متسلسلات
مقالات ذات صلة
مراجع

شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد

\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1

في النقاط

\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)

, حيث

\scriptstyle a

تكون المساحة بين الشعاع، وانعكاسه بالنسبه للمحور

\scriptstyle x

, والقطع الزائد (إنظر صورة متحركة للمقارنة مع الدوال المثلثية.

تمثيل بياني للدوال الزائدية العكسية

الدوال الزائدية العكسية (ويطلق عليها أيضا اسم الدوال المساحية) هي الدوال العكسية للدوال الزائدية.

للحصول على قيمة معينة من دالة الزائدية، توفر الدالة الزائدية العكسية المقابلة الزاوية الزائدية المقابلة. حجم الزاوية الزائدية يساوي مساحة القطاع الزائدي المقابل للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1، أو ضعف مساحة القطاع المقابل لقطع زائد الوحدة الذي معادلته x² − y² = 1، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ضعف مساحة القطاع الدائري لدائرة الوحدة.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

تدخل الدوال الزائدية ومعكوساتها في العديد من المعادلات التفاضلية الخطية، على سبيل المثال، معادلة السلسلي، بعض المعادلات التكعيبية، في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية. تعد معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية وانتقال الحرارة وجريان الموائع والنسبية الخاصة .

الترميز

الترميز أكثر شيوعا وتلك المحددة من قبل ISO 80000-2 هو تسمية الدوال الزائدية العكسية باستخدام البادئة ar- (من الكلمة الإنجليزية area التي تعني "مساحة") لأن عمدتها هي عبارة عن مساحة القطاع الزائدي المحدد بشعاعين، مثال: arsinh ،arcosh.

يفضل مؤلفون آخرون استخدام الترميز (argsinh، وargcosh، وargtanh)، حيث البادئة arg- هي اختصار للكلمة اللاتينية argumentum^[9] التي تعني "عُمْدة"، هذا الترميز اللاتيني يقابله باللغة العربية عمدة الجيب الزائدي، عمدة جيب تمام الزائدي، ... وهكذا.

في علوم الحاسوب، تُختصَر غالبا إلى asinh.

العبارات اللوغاريتمية للدوال

عكس الجيب الزائدي

دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية بـ:

\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)

عكس جيب التمام الزائدي

دالة معرفة على المجال : $[1,+\infty [$ بـ:

\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)

عكس الظل الزائدي

دالة معرفة على المجال $]-1,1[$ بـ:

\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)

عكس ظل التمام الزائدي

دالة معرفة على المجال $]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$ بـ:

\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)

عكس القاطع الزائدي

دالة معرفة على المجال $]0,1]$ بـ:

\operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)

عكس قاطع التمام الزائدي

دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر بـ:

\operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)

إثبات

الطريقة 1

$\forall x\in [1,+\infty [\;:\;\operatorname {arcosh} (x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$

نضع:

${\begin{aligned}y&=\operatorname {arcosh} (x);\quad x\geq 1\\x&=\operatorname {cosh} (y);\quad \ \ \ \ y\geq 0\end{aligned}}$

لدينا:

$\cosh(y)+\sinh(y)=e^{y}....(*)$

$\cosh ^{2}(y)-\sinh ^{2}(y)=1$

إذن :

$\sinh ^{2}(y)=\cosh ^{2}(y)-1$

ومنه:

{\begin{aligned}|\sinh(y)|&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\;;\;y\geq 0\Rightarrow \sinh(y)\geq 0\\\sinh(y)&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\\(*)&:\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}=e^{y}\\\Rightarrow y&=\ln \left(\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\end{aligned}}

الطريقة 2

نعتبر دالة جيب التمام العكسية التالية : $y=\operatorname {arcosh} x$

بالتعريف:

x=\cosh y={\frac {e^{y}+e^{-y}}{2}}

2x={e^{y}+e^{-y}}

e^{y}-2x+e^{-y}=0

e^{y}-2x+{\frac {1}{e^{y}}}=0

e^{2y}-2xe^{y}+1=0

نضع $u=e^{y}$ :

u^{2}-2xu+1=0

نحل المعادلة من الدرجة الثانية:

u={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}

e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}

e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4(x^{2}-1)}}}{2}}

2e^{y}={2x\pm 2{\sqrt {x^{2}-1}}}

e^{y}={x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}

ندخل اللوغاريتم الطبيعي الطرفين:

\ln e^{y}=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)

y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)

ومنه نستنتج أن:

\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)

صيغ الإضافة

\operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)

\operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)

\operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)

{\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}

تركيب الدوال الزائدية والزائدية العكسية

{\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}

المشتقات

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}

إثبات:

نضع على سبيل المثال $θ = arsinh x$ (حيث $sinh 2 θ = (sinh θ) 2$ ):

{\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.

التكاملات

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية

متسلسلات

يمكننا التعبير عن الدوال بواسطة المتسلسلات التالية:

{\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}

مراجع

Bronshtein, Ilja N.; Semendyayev, Konstantin A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007). "Chapter 2.10: Area Functions". Handbook of Mathematics (5 ed.). سبرنجر. p. 91. doi:10.1007/978-3-540-72122-2. ISBN .
Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics ( كتاب إلكتروني PDF ) (6 ed.). Department of Physics, جامعة كونستانز. Archived ( كتاب إلكتروني PDF ) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
Mejlbro, Leif (2006). Real Functions in One Variable – Calculus ( كتاب إلكتروني PDF ). 1a (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN . Archived ( كتاب إلكتروني PDF ) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
Mejlbro, Leif (2008). The Argument Principle and Many-valued Functions - Complex Functions Examples ( كتاب إلكتروني PDF ). c-9 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN . Archived ( كتاب إلكتروني PDF ) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 10 نوفمبر 2019 على موقع واي باك مشين.
Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory ( كتاب إلكتروني PDF ). a-3 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN . ISBN . Archived ( كتاب إلكتروني PDF ) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. 1: Fundamentals (1 ed.). Ediciones UC. p. 89. ISBN . ISBN . نسخة محفوظة 2020-05-08 على موقع واي باك مشين.
Weltner, Klaus; John, Sebastian; Weber, Wolfgang J.; Schuster, Peter; Grosjean, Jean (2014-06-27) [2009]. Mathematics for Physicists and Engineers: Fundamentals and Interactive Study Guide (2 ed.). سبرنجر. ISBN . ISBN . نسخة محفوظة 2020-05-08 على موقع واي باك مشين.
Detlef Reimers http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/lapdf/fplot.pdf
Bacon, Harold Maile (1942). Differential and Integral Calculus. McGraw-Hill. صفحة 203. مؤرشف من الأصل في 26 يوليو 2014.