دوال مثلثية عكسية

الدوال العكسية للدوال المثلثية

☰ جدول المحتويات

نبذة تمهيدية
الترميز
خصائص أساسية
المتطابقات
- متطابقات المجموع والفرق
- متطابقات أخرى
اشتقاق وتكامل الدوال المثلثية العكسية
- اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية
- تكاملات الدوال المثلثية العكسية
المتسلسلات غير المنتهية
الكسور المستمرة لدالة الظل العكسية
الشكل اللوغاريتمي للدوال
التمثيلات البيانية للدوال
مقالات ذات صلة
مراجع
وصلات خارجية

في الرياضيات، الدوال المثلثية العكسية أو الدوال القوسية (Inverse trigonometric functions)‏ هن الدوال العكسية للدوال المثلثية معرفة على مجالات محدودة مناسبة معينة.^[1]. وبالتحديد، هن الدوال العكسية للدوال الست الجيب والجيب التمام والظل والظل التمام والقاطع والقاطع التمام، وتستخدم للحصول على زاوية من أي من النسب المثلثية للزاوية. تستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة التطبيقية والملاحة والفيزياء والهندسة الرياضية.

الترميز

أول من استخدم الرموز $sin -1 (x)$ و $cos -1 (x)$ هو عالم الرياضيات جون هيرشل. كان ذلك في عام 1813.^[2]

الترميز الأكثر استخدامًا هو تسمية الدوال المثلثية العكسية باستخدام البادئة "arc"، مثل: $\arcsin(x)$ ، $\arccos(x)$ $\arctan(x)$ ، ... وهكذا، هذا الترميز يقابله بالعربية: قوس الجيب، قوس جيب التمام، ... .^[3]

غالبًا ما تستخدم تلك الترميزات التي أدخلها جون هيرشل، وهذا الاتفاق يتوافق مع ترميز دالة عكسية. قد يبدو هذا يتعارض منطقياً مع الدلالات الشائعة لعبارات مثل $\sin ^{2}(x)$ ، والتي تشير إلى الأُس بدلاً من تركيب الدالة، وبالتالي قد تؤدي إلى الخلط بين مقلوب العدد والدالة العكسية.

خصائص أساسية

القيم الرئيسية

بما أن الدوال المثلثية الست غير تباينية، تم اقتصارها حتى تكون لها دوال عكسية. لذلك، تكون أمدية الدوال العكسية مجموعات فرعية لأمدية الدوال الأصلية. فمثلا، على سبيل المثال، باستخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم، تمامًا كما يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي $y = \sqrt x$ من $y 2 = x$ ، يتم تعريف الدالة $y = arcsin(x)$ كـ sin(y) = x.

إسم	ترميز	تعريف	مجال الدالة	مدى الدالة (راديان)	مدى الدالة (درجات)
قوس جيب الزاوية	y = $arcsin(x)$	x = $sin (y)$	$-1\leq x\leq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }$
قوس جيب تمام الزاوية	y = $arccos(x)$	x = $cos (y)$	$-1\leq x\leq 1$	$0\leq y\leq \pi$	$0\leq y\leq 180^{\circ }$
قوس ظل الزاوية	y = $arctan(x)$	x = $tan (y)$	كل الأعداد الحقيقية ( $\mathbb {R}$ )	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
قوس ظل تمام الزاوية	y = $arccot(x)$	x = $cot (y)$	كل الأعداد الحقيقية ( $\mathbb {R}$ )	$0<y<\pi$	$0<y<180^{\circ }$
قوس قاطع الزاوية	y = $arcsec(x)$	x = $sec (y)$	$x\leq -1$ أو $x\geq 1$	$0\leq y<{\frac {\pi }{2}}$ أو ${\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$	$0\leq y<90^{\circ }$ أو $90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }$
قوس قاطع تمام الزاوية	y = $arccsc(x)$	x = $csc (y)$	$x\leq -1$ أو $x\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y<0$ أو $0<y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y<0$ أو $0<y\leq 90^{\circ }$

العلاقات بين الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec} (x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot} (x))={\frac {1}{x}}$

العلاقات بين الدوال المثلثية العكسية

زوايا متتامة:

{\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}

عُمْدة (Argument) سالبة:

{\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}

عُمْدة مقلوبة:

{\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}

المتطابقات

طالع أيضًا: قائمة المطابقات المثلثية

متطابقات المجموع والفرق

\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})

\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})

\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)

متطابقات أخرى

\arcsin(x)+\arccos(x)={\pi  \over 2}\;

\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)={\pi  \over 2}.\;

\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)=\left\{{\begin{matrix}{\pi  \over 2},&{\mbox{if }}x>0\\-{\pi  \over 2},&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.

\arccos(x)+\arccos(-x)=\pi .\;

{\begin{aligned}\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}

اشتقاق وتكامل الدوال المثلثية العكسية

اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية

مقالة مفصلة: تفاضل الدوال المثلثية

تُبين فيما يلي، اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية بالنسبة لقيم عقدية أو حقيقية للمتغير x:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}

= المتساويتان التاليتان صالحتان فقط عندما يكون العدد x حقيقيا:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}

على سبيل المثال، إذا توفر $\theta =\arcsin x\!$ ، فإنه يُحصل على ما يلي:

{\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{\cos \theta d\theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

تكاملات الدوال المثلثية العكسية

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

{\begin{aligned}\int \arcsin(x)\,dx&{}=x\,\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos(x)\,dx&{}=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan(x)\,dx&{}=x\,\arctan(x)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot}(x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}

المتسلسلات غير المنتهية

يمكننا تعبير عن بعض د.م.ع. بواسطة متسلسلة ماكلورين:

{\begin{aligned}\arcsin(x)&=x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\,\end{aligned}}

\arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}\,

{\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}-x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}-\cdots \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\,\end{aligned}}

حيث تشير $n!!$ إلى عاملي ثنائي (ميز عن "عاملي مرتين" $(n!)!$ ).

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسية

فيما يلي، كسران مستمران معممان يمثلان دالة الظل العكسية. قد يستعملان تعويضا لمتسلسلة القوى للتعبير عن دالة الظل العكسية.

\arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots \,}}}}}}}}}}\,

الشكل اللوغاريتمي للدوال

قد يتم التعبير عن هذه الدوال أيضًا باستخدام اللوغاريتمات العقدية. هذا يمَدِّد مجالاتهما إلى المستوي العقدي (المركّب) بطريقة طبيعية. تشبه هذه التعبيرات العبارات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية.