دوال زائدية

شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ في النقاط ${\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$, حيث ${\displaystyle \scriptstyle a}$ تكون المساحة بين الشعاع، وانعكاسه بالنسبه للمحور ${\displaystyle \scriptstyle x}$, والقطع الزائد (إنظر صورة متحركة للمقارنة مع الدوال المثلثية.

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية ^[1] في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية أو الدائرية.^[2][3][4] تشكل الدوال الآتية الأساس في الدوال الزائدية:

• الجيب الزائدي ويُرمز لها بـ sinh أو sh
• جيب التمام الزائدي ويُرمز لها بـ cosh أو ch
• الظل الزائدي ويُرمز لها بـ tanh أو th

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:

سبب التسمية

تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا. كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط ${\displaystyle \cos(t),\sin(t)\,}$ دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط ${\displaystyle \cosh(t),\sinh(t)\,}$ تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد. تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.

تعبيرات جبرية قياسية

sinh, cosh و tanh

csch, sech و coth

الدوال الزائدية هي:

• الجيب الزائدي:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}$

• جيب التمام الزائدي:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}=\cos {\rm {i}}x\!}$

• الظل الزائدي:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}$

• ظل التمام الزائدي:

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}$

• القاطع الزائدي:

${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {{\rm {i}}x}\!}$

• قاطع التمام الزائدي:

${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}$

حيث ${\displaystyle {\rm {i}}\,}$ وحدة تخيلية معرفة بأنها ${\displaystyle {\rm {i}}^{2}=-1\,}$.

يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر. لاحظ أنه من التعريف, ${\displaystyle {\rm {sinh}}^{2}x\,}$ تعني ${\displaystyle ({\rm {sinh}}x)^{2}\,}$, ليس ${\displaystyle {\rm {sinh}}({\rm {sinh}}x)\,}$; وبالمثل للداول الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

متطابقات

في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة اوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي.

الدوال الزوجية والفردية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$

ومنهم:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$

وبالتالي، cosh x و sech x هي دوال زوجية؛ بينما الدوال الأخرى هي دوال فردية.

تلبي دالتا جيب وجيب تمام الزائديان:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}$

تشبه الأخيرة المتطابقة المثلثية لفيثاغورس.

لدينا أيضا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$

بالنسبة إلى الدوال الأخرى.

صيغ الجمع

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$

لدينا أيضا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

صيغ ضعف العمدة

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$

صيغ الطرح

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$

أيضا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

صيغ نصف العمدة

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$

حيث sgn هي دالة الإشارة.

إذا كان x ≠ 0، فإن:

${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$

الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}$

الدوال العكسية في صور لوغاريتمية

${\displaystyle \operatorname {arcsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arccosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {arctanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \operatorname {arcsech} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1}$

${\displaystyle \operatorname {arccsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arccoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1}$

المشتقات

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} (x)=-\coth(x)\ \operatorname {csch} (x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} (x)=-\tanh(x)\ \operatorname {sech} (x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

تكاملات قياسية

${\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}$

${\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C}$

${\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}$

في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.

تعابير متسلسلات تايلور

من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

${\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ (متسلسلة لورنت)

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ (متسلسلة لورنت)

حيث

${\displaystyle B_{n}\,}$ هي عدد بيرنولي رقم n

${\displaystyle E_{n}\,}$ هي عدد أويلر رقم n

المقارنة مع الدوال المثلثية

القطاع الدائري (بالأصفر) والقطاع الزائدي (الشكل الأحمر + الشكل الأصفر). الدائرة والقطع الزائد الذي يمسها عند (1,1) يعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مساحة القطاع الدائري u والدوال الزائدية اعتمادًا على مساحة القطاع الزائدي u.

تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.

بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r²u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية.

يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا √2 مرة الدوال الدائرية والزائدية.

الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى الدوران الزائدي ، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران.

تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي ${\displaystyle \operatorname {gd} x=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)}$) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة.

الرسم البياني للدالة cosh (x/a) هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.

علاقاتها بالدوال الأسية

من تعريف الجيب الزائدي والتمام، يمكن اشتقاق المتطابقات التالية:

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$

و

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}$

وهي تعابير مشابهة لتعابير الجيب وجيب التمام في المثلثات، بناء على صيغة ايولر كمجموع للأسات المركبة.

الدوال الزائدية للأعداد المركبة

لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن هولومورفية.

وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}$

وعليه:

${\displaystyle \cosh ix={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x}$

${\displaystyle \sinh ix={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x}$

${\displaystyle \tanh ix=i\tan x\,}$

${\displaystyle \cosh x=\cos ix\,}$

${\displaystyle \sinh x=-i\sin ix\,}$

${\displaystyle \tanh x=-i\tan ix\,}$

إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.

دوال زائدية في المستوى المركب

${\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {coth} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

تطبيقات الدوال الزائدية

لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.

تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.

مقالات ذات صلة

• قائمة تكاملات الدوال الزائدية
• قطع زائد

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة رياضيات