قاعدة الضرب

في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق :

لهذا يمكن أن نقول :

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$

أو بترميز لايبنتز :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}(uv)=u{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} x}+v{\mathrm {d} u \over \mathrm {d} x}.}$

أمثلة

لنحسب تفاضل ${\displaystyle f(x)=\sin(x)\cos(x)}$. حسب قاعدة الضرب لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x)\cos(x){\big ]}&=\sin(x){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\cos(x){\big ]}+\cos(x){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x){\big ]}\\&=-\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\\&=1-2\sin ^{2}(x).\end{aligned}}}$

برهان

لتكن ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$، ونعتبر أن ${\displaystyle g'(x)}$ و${\displaystyle f'(x)}$ موجودين. لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}}=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)-f(x)]\cdot g(x+a)+f(x)\cdot [g(x+a)-g(x)]}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}}\cdot \lim _{a\to 0}g(x+a)+\lim _{a\to 0}f(x)\cdot \lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي