مبرهنة كايزي

في الرياضيات، مبرهنة كايزي (Casey's theorem)‏ وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي.^[1]

المبرهنة

لتكن ${\displaystyle \,O}$ دائرةً شعاعها ${\displaystyle \,R}$. ولتكن ${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل ${\displaystyle \,O}$وتمسها على الترتيب. وليرمز ${\displaystyle \,t_{ij}}$ إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:^[2]

${\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$

لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ النظريةِ صحيحٌ أيضاً، أي إذا وجدت 4 دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.^[1]

التطبيقات

تُستعمل مبرهنة كايزي وعكسها في إثبات عدة مسائل في الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال اعتبرت المبرهنة أقصر حل لمبرهنة فويرباخ.^[1]

انظر أيضاً

• مبرهنة فويرباخ.
• دائرة النقاط التسع.
• رباعي توافقي.
• دائرة.
• دوائر داخلية وخارجية لمثلث.
• دائرة.

مراجع

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية