معادلة xʸ=yˣ

عموما، المعادلات الأسية عمليات غير تبادلية. ولكن تعتبر معادلة xʸ=yˣ حالة خاصة، عندما تكون ${\displaystyle x=2,y=4}$.^[1]

التاريخ

تم ذكر معادلة ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ لأول مرة في رسالة دانييل برنولي إلى كريستيان غولدباخ يوم 29 يونيو 1728^[2].ذكر فيها أن ${\displaystyle x\neq y}$ إلا في حالة ${\displaystyle (2,4)}$ و ${\displaystyle (4,2)}$، على الرغم من أن هناك العديد من الحلول غير المتناهية^[3][4] .
جاء الرد من كريستيان غولدباخ في 31 يناير 1729، ذكر فيها الصيغة العامة لحل هذه المعادلة^[5]:

${\displaystyle y=vx}$

وهي صيغة مشابهه لما ذكره ليونهارت أويلر.

أشار فان هينجيل (J. van Hengel) أنه إذا كان ${\displaystyle r,n}$ أعداد صحيحة موجبة. بحيث تكون ${\displaystyle r\geqslant 3}$ أو ${\displaystyle n\geqslant 3}$. يكون
${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r}}$

وهذا كافي لاعتبار ${\displaystyle x=1}$ و ${\displaystyle x=2}$ في محاولة لإيجاد حل المعادلة^[6].

تم ذكر المشكلة في العديد من الأوراق البحثية والمنشورات. ففي عام 1960 تم ذكر المعادلة في منافسة ويل وليام بوتنام الرياضية^[7][8].

حلول حقيقة موجبة

يوجد العديد من الحلول إذا كانت المعادلة بالشكل التالي:

${\displaystyle x=y}$

ولكن لحل معادلة ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$، يجب اعتبار أن ${\displaystyle x\neq y}$. وأن ${\displaystyle y=vx}$.

وبذلك يكون

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}}$.

بأخذ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ أسا لكا الطرفين، ثم القسمة على ${\displaystyle x}$

${\displaystyle v=x^{v-1}}$.

يكون حل المعادلة على الشكل التالي :

${\displaystyle x=v^{\frac {1}{v-1}}}$,

${\displaystyle y=v^{\frac {v}{v-1}}}$.

بأخذ ${\displaystyle v=2}$ أو ${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}$، يكون الحل الصحيح الموجب للمعادلة هو:

${\displaystyle 4^{2}=2^{4}}$.

مقالات ذات صلة

• الدوال والثوابت الرياضية
• معدل الحرارة (الكفاءة).
• معادلات نيوتن-أويلر.
• الرقم الصغير.
• عدد غير أولي.
• الأس العشري.
• طريقة جاوس سيدل.
• عدد فاصل عائم .
• مقياس إنساني .
• نظام الوحدات الدولي.
• كسر .
• عدد صحيح خال من المربعات.
• جدول التفكيك إلى عوامل أولية.
• تحليل عدد صحيح إلى عوامل.
• المبرهنة الأساسية في الحسابيات.
• غربال إراتوستينس.
• التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب
• قضبان كويزنير
• خوارزمية شوور.
• فيزياء رياضية
• تحليل إلى عوامل
• جدول القواسم

المصادر

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة نظرية الأعداد