نظرية الأعداد التحليلية

دالة زيتا لريمان (ζ(s في المستوى العقدي. لون نقطة ما s يعطي قيمة (ζ(s: الألوان القريبة من الأسود تشير إلى قيم قريبة من الصفر، بينما صبغة اللون تشير إلى قيمة عمدة s.

في الرياضيات، نظرية الأعداد التحليلية أو النظرية التحليلية للأعداد (Analytic number theory)‏ هي فرع من نظرية الأعداد تستعمل طرقا مستقاة من التحليل الرياضي لحلحلة مسائل تتعلق بالأعداد الطبيعية.^[1][2][3] عادة ما يقال أنها ابتدأت حينما قدم دركليه دوال دركليه اللامية من أجل البرهان على مبرهنة دركليه حول الأعداد الأولية. أما المرحلة المهمة الثانية في هذا الموضوع فهي مبرهنة الأعداد الأولية.

يمكن أن تُقسم نظرية الأعداد التحليلية إلى جزئين مهمين، وذلك حسب نوع المعضلات المراد حلحلتها وليس حسب التقنيات المستعملة. نظرية الأعداد الجدائية تدرس توزيع الأعداد الأولية إذ تقوم بتقدير عدد الأعداد الأولية الموجودة في مجال ما، وبذلك، فهي تتضمن مبرهنة الأعداد الأولية ومبرهنة دركليه حول الأعداد الأولية في المتتاليات الحسابية المشار إليها أعلاه. نظرية الأعداد المتطرقة إلى المجاميع تدرس عملية جمع الأعداد الطبيعية، حيث تتضمن حدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد صحيح طبيعي زوجي هو مجموع عددين أوليين. واحدة من أهم نتائج نظرية الأعداد المتطرقة إلى المجاميع هي حلحلة معضلة ويرينغ.

أكبر تحول تقني بعد عام 1950 تمثل في تطور طرق الغرابيل.

التاريخ

الرواد

يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه

تشيبيشيف

بافنوتي تشيبيشيف

ريمان

هادامار وفالي-بوسان

مسائل ونتائج في نظرية الأعداد التحليلية

نظرية الأعداد المتطرقة للجداءات

أثبت إقليدس أن هناك عددا غير منته من الأعداد الأولية ولكنه من الصعب تحديد ما إذا كان عدد طبيعي ما عددا أوليا أم لا، وخصوصا إذا كان هذا العدد كبيرا.

${\displaystyle \,\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log(t)}}\,dt.}$

في عام 1859، استعمل برنارد ريمان التحليل العقدي ودالة خاصة جزئية الشكل تعرف حاليا باسم دالة زيتا لريمان من أجل التعبير بصفة تحليلية عن عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.

إذا كانت ${\displaystyle \pi (x)}$ هي عدد الأعداد الأولية الأصغر من x فإن

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$

تعرف هاته النتيجة المهمة بمبرهنة الأعداد الأولية. هي نتيجة مركزية في نظرية الأعداد التحليلية. وبتعبير آخر، تنص هاته المبرهنة أنه بالنسبة لعدد N كبير كبراً ما، عدد الأعداد الأولية الأصغر من N أو المساوية له يساوي بالتقريب (N/log(N.

انظر إلى متتالية حسابية.

نظرية الأعداد المتطرقة للمجاميع

واحدة من أهم المعضلات في نظرية الأعداد المتطرقة للمجاميع هي معضلة ويرينغ. هاته المعضلة تطرح السؤال التالي : بالنسبة لعدد طبيعي k ما، أكبر أو يساوي 2، هل من الممكن كتابة أي عدد صحيح طبيعي على شكل مجموع قوى من الدرجة k ؟

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.\,}$

أجاب لاغرانج عن هذا السؤال عندما يكون العدد k مساويا ل 2 في عام 1770، حيث أثبت أن أي عدد صحيح طبيعي هو مجموع أربعة مربعات على الأكثر. بُرهنت الحالة العامة من طرف ديفيد هيلبرت عام 1909.

انظر إلى ايفان ماتفييفيتش فينوغرادوف.

مسائل ديوفانتية

تهتم المسائل الديوفانتية بدراسة الحلول عندما تكون مساوية لأعداد طبيعية لمعادلات متعددات الحدود، وخصوصا تهتم بكمية هاته الحلول في مجال معين ما.

واحدة من أهم هاته المسائل هي معضلة الدائرة لغاوس التي تبحث عن النقط (x, y) حيث x وy طبيعيان وحيث :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

طرق نظرية الأعداد التحليلية

متسلسلات دركليه

تعتبر متسلسلات دركليه واحدة من أهم الوسائل المستعملة في نظرية الأعداد المتطرقة إلى الجداءات. وهي دوال متغيراتها أعداد عقدية تعرف بالمتسلسلة غير المنتهية الآتية :

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

قد تكون هاته المتسلسلة متباعدة في كل مكان وقد تكون متقاربة في كل مكان وقد تكون متقاربة في نصف المستوى العقدي ومتباعدة في نصفه الآخر. يتعلق كل ذلك بالقيم اللائي اختِرن للمعاملات ${\displaystyle a_{n}}$.

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

دالة زيتا لريمان

برهن أويلر أن المبرهنة الأساسية في الحسابيات تؤدي إلى ما يلي:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}\,\,\ \,}$ حيث ${\displaystyle p}$ عدد أولي وحيث ${\displaystyle s}$ أكبر قطعا من الواحد.

في بداية القرن العشرين، غودفري هارولد هاردي و جون إيدنسور ليتلوود برهنا على مجموعة من النتائج حول دالة زيتا في محاولة منهما على البرهان على فرضية زيمان. هكذا، في عام 1914، برهن هاردي على أن هناك عددا لانهائيا من الحلول لدالة زيتا على المستقيم الحرج.

${\displaystyle \,\Re (z)=1/2.\,}$

أدى هذا إلى إيجاد مجموعة من المبرهنات حول كثافة أصفار دالة زيتا في المستقيم الحرج.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة نظرية الأعداد
• موسوعة رياضيات