مبرهنة التدرج هي مبرهنة تحليل المتجهات التي تربط التكامل الحجمي لتدرج حقل سلمي والتكامل السطحي لنفس الحقل.
المبرهنة هي كما يلي:
مبرهنة التدرج —
حيث "S" هي حافة "V" و "f" عبارة عن حقل سلمي.
برهان
لإثبات أن هذين المتجهتين متساويتان، يكفي التحقق من أن جدائهما السلمي في أي متجه تستخدم مبرهنة التباعد [1] .
ليكن متجه اختياري، لنبين أن:
أو مرة أخرى (الجداء السلمي يتم تبديله وتوزيعه على إضافة المتجهات )، لنبين أن:
حسب مبرهنة التباعد:
الآن، وفقًا لإحدى صيغ لايبنز لتحليل المتجهات، وبما أن تباعد الحقل المتجهي منتظم يساوي صفرًا، لدينا:
بتعويض في التكامل الأخير، يحدد المساواة المعلنة.
مرجع
- جيمس ستيوارت (2009). Calculus: Concepts and Contexts (باللغة الإنجليزية). Cengage Learning. صفحة 972. مؤرشف من الأصل في 23 يناير 2020. , ex. 31.