النوع الأول من التكامل المعتل، حالة الفترة غير المحدودة.
النوع الثاني من التكامل المعتل، حالة الدالة غير المحدودة.
الصيغة الأساسية بأن يكون على أحد الشكلين التاليين:
![{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0bc6840d880f838d4a6ee084585937cc0dae7d)
أو
![{\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37375739ed53b409dee91374f4fb6a8dba680d82)
التكامل المعتل حالة الفترة غير المحدودة
إذا كان لدينا تكامل الدالة
على الفترة [1, ∞) وهي فتره غير محدوده، فهذا يكون تكامل معتل، ونستخدم الطريقة التالية لحله
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d54c962ee7c636a173328623c3d505dbdca4ef)
نستخدم Lim أو نهاية b إلى مالا نهايه، ونحول فترة التكامل من 1 إلى b ونكامل بالطريقة العادية
وفي حال كانت الإجابة رقم ثابت فهو تكامل تقاربي، أما إن كانت الإجابة موجب أو سالب مالا نهايه فالتكامل تباعدي.
حالة فترة غير المحدودة (-∞,∞)
لدينا تكامل معتل على الفترة (-∞,∞)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92fbc93081fce942e7395130a7dc10dc262362ee)
نقوم بتجزيئة إلى فترتين (-∞,0) و(0,∞) لينتج لدينا تكاملين منفصلين لنفس الدالة
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3464f8d223fffd81702b468774b1d936d787179b)
ثم نستخدم طريقة حل التكامل المعتل لكل فترة على حده
=
التكامل المعتل حالة الدالة غير المحدودة
باعتبار c هو عدد ثابت تكون الدالة غير معرفه عنده
![{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b7a13ea47b5e7254247d6f04c683256230e815)
يكون حل التكامل على الشكل
![{\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0949342625f7ca3d233b433879d97dd0bcc732)
مثال
لدينا 0 هنا هو c في الشرح السابق حيث تكون الدالة غير معرفه عنده 0
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}(2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {a}})=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a68b4e2204a31f2bf91a54e65e6c43542b8d666)
ونلاحظ علامة + فوق الصفر، لأن التكامل غير معرف عند أو تحت الصفر ولكنه معرف عند اي رقم آخر أكبر من 0
مصادر
راجع كتاب مبادئ التفاضل والتكامل الجزء الثاني، د.صالح السنوسي وآخرون، جامعة الملك سعود بالرياض، دار الخريجي للنشر والتوزيع
موسوعات ذات صلة :