دالة الظل العكسية

في الرياضيات، دالة قوس الظل ^[1] (Arctangent)‏ لعدد حقيقي المعرفة على ${\displaystyle \mathbb {R} }$ هي الدالة العكسية لدالة الظل، مستقرها هو ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$، وحدتها هي الراديان.

دالة قوس الظل
التمثيل البياني للدالة
ترميز	${\displaystyle \arctan x}$
دالة عكسية	${\displaystyle \tan x}$ على المجال ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$
مشتق الدالة	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	${\displaystyle \mathbb {R} }$
المجال المقابل	${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
نهاية الدالة عند +∞	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
نهاية الدالة عند -∞	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$
خطوط مقاربة	${\displaystyle y={\frac {\pi }{2}}}$ عند ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle y=-{\frac {\pi }{2}}}$ عند ${\displaystyle -\infty }$
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي، قيمة قوس الظل الخاص به يرمز لها بـ arctan أو tan ^-1. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الظل المثلثية المقتصرة إلى المجال ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس ظل الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الظل المقتصرة إلى المجال ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

مشتق

دالة الظل العكسية تقبل الإشتقاق على ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ودالتها المشتقة هي:

${\displaystyle \arctan 'x={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:${\displaystyle (\arctan x)'={d \over dx}\arctan x}$

نضع ${\displaystyle \theta =\arctan x}$:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\tan \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta (1+\tan ^{2}\theta )}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

إثبات آخر

يمكن استنتاج مشتقة قوس الظل كالتالي:

1. معلوم أن tan(arctan(x))=x بتفاضل الطرفين:

${\displaystyle (\tan(\arctan(x))'=x'}$

نحصل على :

${\displaystyle {(\tan(\arctan(x))^{2}+1)}{d \over dx}{\arctan(x)}=1}$

بتبسيط tan(arctan(x)) نحصل على:

${\displaystyle {(x^{2}+1)}{d \over dx}{\arctan(x)}=1}$

و بترتيب التعبير نحصل على مشتقة دالة قوس الظل :

${\displaystyle {d \over dx}{\arctan(x)}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }$.

المشتق العكسي

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الظل عن طريق التكامل بالتجزئة :

${\displaystyle x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}$

على المستوي العقدي

الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الظل باستخدام اللوغاريتم العقدي:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus \left({\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1}{\rm {i}}}\operatorname {artanh} ({\rm {i}}x)={\frac {1}{2{\rm {i}}}}\ln \left({\frac {1+{\rm {i}}x}{1-{\rm {i}}x}}\right)={\frac {\ln(1+{\rm {i}}x)-\ln(1-{\rm {i}}x)}{2{\rm {i}}}}}$

حيث ${\displaystyle \operatorname {artanh} x}$ هي دالة الظل الزائدية العكسية.

تمثيل الدالة العقدية

التمثيل البياني اللوني للدالة ${\displaystyle \arctan z}$

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• دالة الجيب العكسية
• دالة جيب التمام العكسية

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة هندسة رياضية