دالة جيب التمام العكسية

في الرياضيات، دالة قوس جيب التمام ^[1] (Arccosine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة جيب التمام، مستقرها هو ${\displaystyle [0,\pi ]}$، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب التمام الخاص به يرمز لها بـ arccos أو cos ^-1. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة جيب التمام المثلثية المقتصرة إلى المجال ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب تمام الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة جيب التمام المقتصرة إلى المجال ${\displaystyle [0,\pi ]}$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

مشتق

دالة جيب التمام العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:

${\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

إثبات

يمكن كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:${\displaystyle (\arccos x)'={d \over dx}\arccos x}$

نضع ${\displaystyle \theta =\arccos x}$:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\cos \theta }}={\frac {d\theta }{-d\theta \sin \theta }}={\frac {-1}{\sin \theta }}={\frac {-1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

إثبات آخر

يمكن إيجاد مشتقة دالة arccos(x) عن طريق تفاضل مركب دالتين (دالة ومعكوسها):

- إذا كانت cos(arccos(x)) = x بتفاضل الطرفين معاً ينتج:

${\displaystyle (\cos(\arccos(x))'={-\sin(\arccos(x))}{d \over dx}\arccos x}$

أي أن:

${\displaystyle \ (x)'=-{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos(x))}}{d \over dx}\arccos x}$

يُستنتج من ذلك:

${\displaystyle \ 1=-{\sqrt {1-x^{2}}}{d \over dx}\arccos x}$

بترتيبها تنتج المشتقة:

${\displaystyle \ {d \over dx}{\arccos(x)}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل المحدد:

 ${\displaystyle \arccos x=\int _{1}^{x}{\frac {-1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}$

المشتق العكسي

يمكن الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة:

${\displaystyle \int \arccos(x)dx=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

لكل عدد حقيقي x محصور بين –1 و 1 :

${\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}$

إثبات

يمكن أن نستنتج العلاقة بين arccos(x) و arcsin(x) كالتالي:

نأخذ:

${\displaystyle \ y=\arccos(x)}$

${\displaystyle \cos(y)=x}$

يعني:

${\displaystyle \sin {\left({\frac {\pi }{2}}-y\right)}=x}$

ومنه:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-y=\arcsin(x)}$

أي:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos(x)=\arcsin(x)}$

و بترتيبها نحصل على:

${\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}$

إثبات آخر

نشتق الدالة ${\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)}$:

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ وهي مساوية للصفر ، إذن arccos(x) + arcsin(x) هي عبارة عن دالة ثابتة.

نستنتج من ذلك أن:

مجموع arccos(x) و arcsin(x) عدد حقيقي ثابت (لأن مشتقة الثابت هي الصفر) يتم تعيينه أي أن:

${\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)=\alpha }$

نأخذ arcsin(x) إلى الطرف الآخر:

${\displaystyle \arccos(x)=\alpha -\arcsin(x)}$

ندخل دالة الجيب تمام على الطرفين:

${\displaystyle \ x=\cos(\alpha -\arcsin(x))}$

نبسط التعبير باستعمال قاعدة جيب تمام فرق عددين:

${\displaystyle \ x=\cos(\alpha )\cos(\arcsin(x))+\sin(\alpha )\sin(\arcsin(x))}$

أي أن:

${\displaystyle \ x={\cos(\alpha )}{\sqrt {1-x^{2}}}+{x}{\;\sin(\alpha )}}$

و بتعويض x ب 0 و التبسيط نحصل على:

${\displaystyle 0=\cos(\alpha )}$

بادخال دالة معكوس جيب التمام على الطرفين نحصل على:

${\displaystyle \arccos(0)=\alpha }$

أي أن:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\alpha }$

و بالتالي نحصل على العلاقة بينهما:

${\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}$

التمثيل بواسطة متسلسلة

لدينا:

${\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)}$

و بتعويض arcsin(x) بمتسلسلتها نحصل على متسلسلة دالة arccos(x) :

${\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}}$

على المستوي العقدي

الشكل اللوغاريتمي

يمكن التعبير عن دالة قوس جيب التمام باستخدام اللوغاريتم العقدي:

${\displaystyle \arccos(x)=-i\,\ln \left(x+i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}$

تمثيل الدالة العقدية

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• دالة الجيب العكسية
• دالة الظل العكسية

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة هندسة رياضية